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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Di 21.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Es sei [mm] z_{0} [/mm] jeweils eine Lösung der angegebenen Gleichung und a fest, a [mm] \in \IC. [/mm] Ermitteln Sie alle weiteren Lösungen.
[mm] z^{4}+2-i=a, z_{0}=2+3i [/mm] |
Hallo erstmal,
ich sitz seit gestern, an dieser Aufgabe, da ich irgendwie auf kein vernünftiges Argument komme. Angefangen hab ich so:
[mm] z_{0} [/mm] in die Gleichung eingesetzt und a bestimmt. Danach die Gleichung [mm] z^{4}+2-1=a [/mm] nach [mm] z^{4} [/mm] umgestellt und hatte somit [mm] z^{4}=-119-120i. [/mm] Dann habe ich den Betrag bestimmt mit [mm] r=\wurzel{(-119)^{2}+(-120)^{2}} [/mm] das ergibt r=169. Wenn ich jetzt aber das Argument mit [mm] tan^{-1}(\bruch{-120}{-119}) [/mm] berechnen will kommt da mumpitz raus, oder zu mindestens kann ich damit nichts anfangen. Eigentlich müsste ich dann noch das Argument mit [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] ergänzen, da wir uns ja mit -x-yi im dritten Quadranten befinden.
Mal ganz davon abgesehn, dass wir in der Prüfung keine Taschenrechner benutzen dürfen, was die Aufgabe noch Zeitaufwendiger macht. Berechne ich das Argument falsch oder muss ich da vielleicht ganz anderes ran gehen ?
danke im voraus für die Hilfe.
grüße andi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das geht viel einfacher:
Du hast eine Gleichung der Form [mm] z^4=a-2+i [/mm] und eine gegebene Lösung [mm] z_0.
[/mm]
Die anderen 3 Lösungen sind dann [mm] \pm i*z_0 [/mm] und [mm] -z_0, [/mm] dazu brauchst du noch nicht einmal a zu berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Di 21.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
und wie erkenne ich, dass ich einfach [mm] z_{0} [/mm] * i nehmen muss ?
Wegen n=4 ? Und wie ich kann ich das auf andere Aufgaben ausweiten bei n=8 [mm] z_{0}* [/mm] 0,5i ?
aber danke schonmal für die schnelle Beantwortung
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> und wie erkenne ich, dass ich einfach [mm]z_{0}[/mm] * i nehmen muss
> ?
> Wegen n=4 ? Und wie ich kann ich das auf andere Aufgaben
> ausweiten bei n=8 [mm]z_{0}*[/mm] 0,5i ?
>
> aber danke schonmal für die schnelle Beantwortung
Allgemein unterscheiden sich die verschiedenen Lösungen der Gleichung [mm] z^n=b [/mm] jeweils durch eine n-te Einheitswurzel. Sind nämlich [mm] z_0 [/mm] und [mm] z_1 [/mm] zwei Lösungen, so gilt [mm] \left(\frac{z_1}{z_0}\right)^n=\frac{b}{b}=1.
[/mm]
Im Fall n=4 sind die vierten Einheitswurzeln (Lösungen der Gleichung [mm] w^4=1) [/mm] gerade [mm] \pm [/mm] 1 und [mm] \pm [/mm] i, für zwei Lösungen der ursprünglichen Gleichung gilt somit [mm] \frac{z_1}{z_0}\in\{\pm 1,\pm i\}
[/mm]
Allgemein haben die n-ten Einheitswurzeln die Form [mm] e^{i*2\pi*k/n} [/mm] mit k=0,...,n-1, für n=8 sind dies z.B
[mm] \pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] i und [mm] \pm\frac{1}{\sqrt{2}}*(1\pm [/mm] i)
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