(n^s) \in l^p < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Fr 30.03.2007 | | Autor: | dena |
| Aufgabe | | Für welche s, t [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] (n^s) \in l^p [/mm] bzw. [mm] (n^s (log(n+1))^t) \in l^p [/mm] |
Hallo!
ich weiß wohl, dass diese Aufgabe nicht all zu schwierig sein dürfte, aber..
hätt jemand eine idee?
Mein kleiner Ansatz zur a)
[mm] -\infty \le [/mm] s [mm] \le \infty [/mm] : [mm] (\summe_{n=1}^{\infty} |n^s|)^p [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
* wenn s > 1 dann ist diese Reihe konvergent
* s [mm] \le [/mm] 1 dann habe ich die harmonische Reihe und somit divergent
DANKE!!!
lg dena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Fr 30.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Kannst du etwas genauer [mm] l^p [/mm] in deinem Sinne definieren (Maßraum, Norm,...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Fr 30.03.2007 | | Autor: | dena |
Natürlich!
[mm] l^p [/mm] sind Folgenräume:
Man setzt
[mm] l^p [/mm] = { [mm] (t_{n}): t_{n} \in \IK, \summe_{n=1}^{\infty}|t_{n}|^p [/mm] < [mm] \infty [/mm] }
mit 1 [mm] \le [/mm] p [mm] \le \infty
[/mm]
sowie für x = [mm] (t_{n}) \in l^p
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{p} [/mm] = [mm] (\summe_{n=1}^{\infty}|t_{n}|^p )^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Fr 30.03.2007 | | Autor: | wauwau |
> Für welche s, t [mm]\in \IR[/mm] gilt [mm](n^s) \in l^p[/mm] bzw. [mm](n^s (log(n+1))^t) \in l^p[/mm]
>
> Hallo!
>
> ich weiß wohl, dass diese Aufgabe nicht all zu schwierig
> sein dürfte, aber..
> hätt jemand eine idee?
>
> Mein kleiner Ansatz zur a)
>
> [mm]-\infty \le[/mm] s [mm]\le \infty[/mm] : [mm](\summe_{n=1}^{\infty} |n^s|)^p[/mm]
> < [mm]\infty[/mm]
>
> * wenn s > 1 dann ist diese Reihe konvergent
Achtung: wenn s < 1 dann konvergent vür s >=1 divergent!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Fr 30.03.2007 | | Autor: | wauwau |
> Für welche s, t [mm]\in \IR[/mm] gilt [mm](n^s) \in l^p[/mm] bzw. [mm](n^s (log(n+1))^t) \in l^p[/mm]
>
> Hallo!
>
> ich weiß wohl, dass diese Aufgabe nicht all zu schwierig
> sein dürfte, aber..
> hätt jemand eine idee?
>
> Mein kleiner Ansatz zur a)
>
> [mm]-\infty \le[/mm] s [mm]\le \infty[/mm] : [mm](\summe_{n=1}^{\infty} |n^s|)^p[/mm]
> < [mm]\infty[/mm]
>
> * wenn s > 1 dann ist diese Reihe konvergent
du musst aber [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |n^s|^p = \summe_{n=1}^{\infty} |n|^{sp} [/mm]
dann folgt nach dem Verdichtungskriterium
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 2^{nsp} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (2^{sp})^{n} [/mm] muss konverg. sein
genau dann, wenn [mm] 2^{sp} [/mm] < 1 also sp < 0
2. muss ich mir erst anschauen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Fr 06.04.2007 | | Autor: | dena |
Hallo wauwau!
vielen dank für deine antwort! ich hatte jetzt mehrere tage keinen pc, deswegen meine späte reaktion..
s<1 konvergent s >= 1 divergent ist klar. danke, war da wohl nicht ganz bei der sache 
Nun eine frage zum verdichtungskriterium. Müsste es nicht so lauten:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 2^n*2^{nsp}=\summe_{n=1}^{\infty}(2^{1+sp})^n
[/mm]
konvergent genau dann, wenn sp < -1 ?
Oder stehe ich auf der leitung?
DANKE!
lg dena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Fr 06.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Du hast natürlich recht, der Faktor [mm] 2^n [/mm] kommt dazu...
War ich wohl zu voreilig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Sa 07.04.2007 | | Autor: | dena |
super, vielen dank!!!
und hättest du noch eine idee zur 2. aufgabe?
lg und frohe ostern!
dena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Sa 07.04.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}n^{sp}*(ln(n+1))^{tp} [/mm] soll konvergent sein.
wenn man bedenkt, dass
[mm] \integral_{1}^{\infty}{x^{-a}*(ln(x+1))^{b} dx} [/mm] für alle a > 0 und b [mm] \in \IR [/mm] existiert, dann folgt aus dem Cauchyschen Integralkriterium, die Konvergenz der o.a. Reihe, wenn sp < 0 ist und tp beliebig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Mi 11.04.2007 | | Autor: | dena |
Hallo wauwau!
Super, vielen Dank! Jetzt werde ich mir das mal durch den Kopf gehen lassen!
lg dena
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