normierter Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Mi 16.10.2013 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die Menge der $m [mm] \times [/mm] n $ Matrizen bezüglich der Operatornorm [mm] $\|A\|_{op} [/mm] : = [mm] sup_{\| x \| \le 1 } \|Ax\|$ [/mm] ein normierter Raum ist. |
Als erstes habe ich ja zu zeigen, dass gilt [mm] $\|x\| [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x =0.$
Dann kann ich ja schreiben:
$ [mm] \|A|\ [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow sup_{\| x \| \le 1 } \|Ax\| [/mm] = 0$ Nun weiß ich leider nicht wie diese Supremumsnorm definiert ist und daher kann ich nicht $A=0$ folgern. Hat hier vielleicht jemand eine Idee, was hinter dieser Supremumsnorm stecken könnte? Über Hilfe wäre ich sehr dankbar, denn ich finde nirgendwo die Definition.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mi 16.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige, dass die Menge der [mm]m \times n[/mm] Matrizen
> bezüglich der Operatornorm [mm]\|A\|_{op} : = sup_{\| x \| \le 1 } \|Ax\|[/mm]
> ein normierter Raum ist.
> Als erstes habe ich ja zu zeigen, dass gilt [mm]\|x\| = 0 \Leftrightarrow x =0.[/mm]
>
> Dann kann ich ja schreiben:
> [mm]\|A|\ = 0 \Rightarrow sup_{\| x \| \le 1 } \|Ax\| = 0[/mm] Nun
> weiß ich leider nicht wie diese Supremumsnorm definiert
> ist
Leider ist der Aufgabensteller in seinen Notationen etwas schludrig. Ich sags Dir nochmal etwas ausfühlicher:
Auf dem [mm] \IR^n [/mm] und auch auf dem [mm] \IR^m [/mm] hast Du jeweils eine Norm gegeben, diese Normen hat der Aufgabensteller mit dem gleichen Symbol bezeichnet:
[mm] \|*\|.
[/mm]
das ist nicht gut, aber auch nicht schlimm, denn aus dem Zusammenhang geht hervor, welche Norm gemeint ist:
in [mm] \|x\| [/mm] ist die Norm auf dem [mm] \IR^n [/mm] gemeint, in $||Ax||$ ist die Norm auf dem [mm] \IR^m [/mm] gemeint.
Dann ist die zu diesen Normen gehörende Operatorennorm def. durch
[mm] ||A||_{op}:= [/mm] sup [mm] \{||Ax||: x \in \IR^n, ||x|| \le 1\}.
[/mm]
> und daher kann ich nicht [mm]A=0[/mm] folgern.
Doch, aus [mm] \|A\|_{op}=0 [/mm] kannst Du folgern A=0:
Denn aus [mm] \|A\|_{op}=0 [/mm] folgt ||Ax||=0 für alle x [mm] \in \IR^n [/mm] mit ||x|| [mm] \le [/mm] 1.
Nun überlege Dir, dass daraus folgt:
||Ax||=0 für alle x [mm] \in \IR^n [/mm] ,
also Ax=0 alle x [mm] \in \IR^n [/mm] und somit A=0.
FRED
> Hat hier
> vielleicht jemand eine Idee, was hinter dieser
> Supremumsnorm stecken könnte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mi 16.10.2013 | | Autor: | clemenum |
Hallo Fred!
Erstmal vielen Dank für deinen Aufklärung/Tipp.
Ich führe nun die anderen beiden Teile zu Ende:
[mm] $||\lambda [/mm] A|| = [mm] sup_{|| x || \le 1} ||(\lambda [/mm] A)x|| = [mm] sup_{||x|| \le 1} |\lambda| [/mm] ||Ax|| = [mm] |\lambda [/mm] | [mm] sup_{||x|| \le 1 } [/mm] ||Ax|| = [mm] |\lambda [/mm] | [mm] ||A||_{op} [/mm] $
$||A + B [mm] ||_{op} [/mm] = [mm] sup_{ ||x|| \le 1 } [/mm] || (A+B) x|| = [mm] sup_{||x|| \le 1} [/mm] ||Ax + Bx|| [mm] \le [/mm] sup ||Ax|| + [mm] sup_{ ||x|| \le 1 } [/mm] ||Bx|| = || [mm] A||_{op} [/mm] + [mm] ||B||_{op} [/mm] $
Ich denke, dass ich hier bei der Dreiecksungl. ein bis zwei wichtige Schritte ausgelassen habe, erkenne aber leider nicht, welcher dazugehört, mein Gefühl sagt jedoch, dass dies so stimmen muss. Kannst du mir noch bei den Zwischenschritten helfen? 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Mi 16.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo clememum,
> Ich führe nun die anderen beiden Teile zu Ende:
> [mm]||\lambda A|| = sup_{|| x || \le 1} ||(\lambda A)x|| = sup_{||x|| \le 1} |\lambda| ||Ax|| = |\lambda | sup_{||x|| \le 1 } ||Ax|| = |\lambda | ||A||_{op}[/mm]
>
>
> [mm]||A + B ||_{op} = sup_{ ||x|| \le 1 } || (A+B) x|| = sup_{||x|| \le 1} ||Ax + Bx|| \le sup ||Ax|| + sup_{ ||x|| \le 1 } ||Bx|| = || A||_{op} + ||B||_{op} [/mm]
Falsch ist da nichts. Die Frage ist nur, ob dir jeder einzelne Schritt klar ist.
Ich denke, die kritischsten Schritte sind:
i) [mm] $sup_{||x|| \le 1} |\lambda| [/mm] ||Ax|| = [mm] |\lambda [/mm] | [mm] sup_{||x|| \le 1 } [/mm] ||Ax||$
und
ii) [mm] $sup_{||x|| \le 1} [/mm] ||Ax + Bx|| [mm] \le sup_{||x||\le1} [/mm] ||Ax|| + [mm] sup_{ ||x|| \le 1 } [/mm] ||Bx||$.
Zu i): Ist dir klar, für welche [mm] $a\in\IR$ [/mm] du einen Faktor $a$ "aus einem Supremum herausziehen" kannst (d.h., dass [mm] $\sup a*M=a*\sup [/mm] M$ für alle nichtleeren beschränkten [mm] $M\subseteq\IR$ [/mm] gilt) und für welche $a$ das im Allgemeinen nicht geht? Darfst du also [mm] $|\lambda|$ [/mm] "aus dem Supremum herausziehen"?
Zu ii): Ein naheliegender Zwischenschritt ist, zunächst die Dreiecksungleichung der einen gegebenen Norm anzuwenden:
[mm] $sup_{||x|| \le 1} [/mm] ||Ax + [mm] Bx||\le \sup_{||x||\le1}(||Ax||+||Bx||)\le [/mm] sup ||Ax|| + [mm] sup_{ ||x|| \le 1 } [/mm] ||Bx||$.
Verbleibt noch das rechte dieser beiden [mm] $\le$ [/mm] zu begründen.
Zeige dazu, dass [mm] $\underbrace{sup_{||x||\le1} ||Ax||}_{=:a} [/mm] + [mm] \underbrace{sup_{ ||x|| \le 1 } ||Bx||}_{=:b}$ [/mm] eine obere Schranke von [mm] $M:=\{||Ax||+||Bx||\;|\;||x||\le1\}$ [/mm] ist.
Damit folgt dann wie gewünscht [mm] $\sup M\le [/mm] a+b$.
Du benötigst für die Wohldefiniertheit der Operatornorm übrigens noch, dass [mm] $||A||_{op}$ [/mm] tatsächlich eine reelle Zahl ist.
Zu überlegen ist also, dass die Menge [mm] $\{||Ax||\;|\;||x||\le1\}$, [/mm] deren Supremum genommen werden soll, nichtleer und beschränkt ist.
Viele Grüße
Tobias
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