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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Di 14.12.2004 | | Autor: | joas |
Hallo, wie geht man bei folgender Aufgabe vor?
Seien [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] Folgen aus M, die gegen a bzw. b konvergieren.
Man zeige: d( [mm] a_{n} [/mm] , [mm] b_{n} [/mm] ) [mm] \to [/mm] d(a,b).
Sollte wohl irgendwie mit der Dreecksungleichung gehen?!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo joas,
das kannst du mit der Stetigkeit der Norm beweisen.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Di 14.12.2004 | | Autor: | joas |
Kann ich auch so vorgehen?
[mm] a_{n}\to [/mm] a und [mm] b_{n}\to [/mm] b [mm] \Rightarrow a_{n} [/mm] + [mm] b_{n} \to [/mm] a+b
d( [mm] a_{n} [/mm] , [mm] b_{n} [/mm] ) = | [mm] a_{n} [/mm] - [mm] b_{n} [/mm] |
d( a , b ) = | a - b |
[mm] z_{n}\to [/mm] z , dann | [mm] z_{n} [/mm] - z | [mm] \to [/mm] 0
| | [mm] a_{n} [/mm] - [mm] b_{n} [/mm] | - | a - b | | [mm] \le [/mm] d( [mm] a_{n} [/mm] , a) + d( [mm] b_{n} [/mm] , b)
nach Vierecksungleichung (die wir benutzen sollen). Ist jetzt irgendetwas bewiesen?
Vielen Dank.
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Hallo joas,
die ganze Vorüberlegung kannst du vergessen.
Du setzt an:
| b - a | = | b - [mm] b_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] + [mm] a_n [/mm] - a | [mm] \le
[/mm]
[mm] \le [/mm] | b - [mm] b_n [/mm] | + | [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] | + | [mm] a_n [/mm] - a |
[mm] \Rightarrow [/mm] | b - a | - | [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] | [mm] \le [/mm] | b - [mm] b_n [/mm] | + | [mm] a_n [/mm] - a |
Analog:
| [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] | = | [mm] b_n [/mm] - b + b - a + a - [mm] a_n [/mm] | [mm] \le
[/mm]
[mm] \le [/mm] | [mm] b_n [/mm] - b | + | b - a | + | a - [mm] a_n [/mm] |
[mm] \Rightarrow [/mm] | [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] | - | b - a | [mm] \le [/mm] | [mm] b_n [/mm] - b | + | a - [mm] a_n [/mm] |
Somit kannst du den Unterschied zwischen den beiden Differenzen betragsmäßig unter jede kleine positive Zahl [mm] \varepsilon [/mm] drücken.
Deine unterste Zeile kann ich nicht so ohne Weiteres nachvollziehen, eine zweifache Betrachtung finde ich eleganter (ist ja auch meine Idee  ).
Hugo
Hugo
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