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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 So 04.02.2007 | | Autor: | anitram |
| Aufgabe | in C[a,b] gilt [mm] \parallel-\parallel_2 \le \mu\parallel-\parallel_\infty
[/mm]
die umkehrung [mm] \parallel-\parallel_\infty \le \mu\parallel-\parallel_2 [/mm] kann allerdings nicht für alle x gelten. |
einen wunderschönen guten morgen!
die erste ungleichung dürfte ja nicht so schwierig sein, ich hab sie folgendermaßen zu lösen probiert:
[mm] \parallel-\parallel_2 [/mm] = [mm] (\integral_{a}^{b}{x^2(t) dt})^{1/2}= (|\integral_{a}^{b}{x^2(t) dt}|)^{1/2} \le ((b-a)*\parallel x^2\parallel_\infty)^{1/2}= \wurzel{b-a}*(max x_t^2)^{1/2} [/mm] = [mm] \wurzel{b-a}*max |x_t|= \mu*\parallel x\parallel_\infty
[/mm]
stimmt das soweit??
für die 2. ungleichung, habe ich folgendes gegenbeispiel gefunden:
nämlich eine funktion
[mm] f_\varepsilon= max(0,1/\varepsilon(1-\bruch{|x|}{\varepsilon}))^{1/2}, [/mm] mit [mm] 0<\varepsilon<1 [/mm] und -1<x<1
hierbei soll [mm] \parallel f_\varepsilon\parallel_\infty= \varepsilon^{-1/2} [/mm] sein, und [mm] \parallel f_\varepsilon\parallel_2=1 [/mm] sein.
auf erstes ergebnis [mm] \varepsilon [/mm] komme ich ja noch, aber wie kommt man auf die 2-norm von dem integral eines maximums?
ich habe keine ahnung wie ich hier integrieren muss.
kann mir bitte jemand helfen?? vielleicht gibts ja auch ein einfacheres gegenbeispiel oder beweis dafür?
vielen dank schon mal im voraus!
lg anitram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Do 15.02.2007 | | Autor: | anitram |
hallo nochmal!
leider konnte mir bis jetzt niemand helfen...
aber ich geb nicht auf und hoff dass mir doch jemand helfen kann!
wie kann ich denn ein gegenbeispiel finden für die 2. ungleichung. das nämlich, das ich hab scheint mir ein bisschen zu schwierig zu sein... oder komm ich einfach nicht drauf?
vielen dank schon mal für die hilfe!
lg anitram
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Fr 16.02.2007 | | Autor: | GerKill |
Hallo,
die erste Ungleichung ist ok, die zweite ist einfach zu konstruieren:
Was Du brauchst ist eine stetige Funktion(folge), mit begrenzter 2-Norm (Fläche) aber unbegrenzter Max-Norm: Mal Dir auf [a,b] ein gleichschenkliges Dreieck mit Grundfläche 2/N und Höhe N (der Rest sei 0). Sei dies g(x). g ist stetig auf [a,b]. Sei f(x)=g(x)^(1/2) (damit es sich einfacher rechnet).
Dann gilt: f ist stetig auf [a,b], 2-Norm von f ist 1 und Max-Norm von f = N^(1/2). Der Rest ist nun klar.
Reicht dies als Antwort? Das Beispiel, was Du angeführt hats, ist diff´bar, was hier wohl nicht notwendig war (Integration geht auch ohne Diff´barkeit).
Gruß
Gerhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mo 19.02.2007 | | Autor: | anitram |
hallo gerhard!
vielen dank für deine hilfe!
dieses beispiel ist mir auf den ersten blick schon viel klarer!
sollte ich auf den 2. blick noch auf ein problem stoßen, dann meld ich mich einfach noch einmal!
vielen dank!
lg anitram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Do 12.04.2007 | | Autor: | anitram |
hallo!
ich hab mir jetzt nochmal gedanken gemacht, und frage mich, ob es denn notwendig ist die wurzel von g(x) zu nehmen.
denn wie du geschrieben hast, dass es einfacher zu rechnen ist, ich finds einfacher einfach nur g(x) zu nehmen, dann ist die max - norm einfach N, und kann somit auch unendlich sein.
oder denke ich hier verkehrt?
sonst ist mir ja eh alles klar, nur die wurzel verwirrt mich etwas!
vielen dank!
lg anitram
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mi 25.04.2007 | | Autor: | anitram |
hallo!!
ich habe mir dein beispiel ein paar mal durchgedacht, aber etwas versteh ich einfach nicht...
ich habe mir folgenden funktion (dreiecksfunktion) definiert:
[mm] f_{n}(x)=\begin{cases} n²x, & \mbox{für } 0 \le x < 1/n \mbox{ } \\ 2n-n²x, & \mbox{für } 1/n \le n < 2/n \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
rechne ich mit dieser funktion die 2-norm (also [mm] (\integral_{0}^{2/n}{f_{n}(x) dx} )^{1/2} [/mm] ) aus, komme ich auf 2n/3, was ja eindeutig nicht beschränkt ist.
wie gerhard geschrieben hat, sollte die 2-norm der flächeninhalt von dem dreieck sein, und der wäre ja 1.
habe ich mich verrechnet oder stimmt das nicht??
das maximum (also die unendlich-norm) ist auch unbeschränkt. nämlich n.
rechne ich jetzt aber mit der wurzel von [mm] f_{n}(x) [/mm] erhalte ich für die 2-norm das ergebnis 1.
die maximumsnorm dürfte auch unbeschränkt sein, oder?
warum funktioniert das mit der dreiecksfunktion nicht???
irgendwie versteh ichs nicht!
vielen dank schon mal im voraus für die hilfe!!
lg anitram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Mi 25.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Nimm deine Funktion und dividiere sie durch n, dann ist die [mm] L_{2} [/mm] norm durch 2/3 beschränkt....
die [mm] L_{\infty} [/mm] jedoch noch immer unbeschränkt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mi 25.04.2007 | | Autor: | anitram |
danke für deine schnelle antwort!
habs jetzt so probiert, komme aber au eine 2-norm von 2/(3n)???
das ist ja auch nicht beschränkt oder doch (vielleicht, da n im nenner ist?)?
lg anitram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Mi 25.04.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] \bruch{2}{3n} [/mm] ist für alle n [mm] \ge [/mm] 1 kleiner als [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Mi 25.04.2007 | | Autor: | anitram |
ok, jetzt hab auch ichs kapiert!
vielen vielen dank!
lg anitram
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Sa 05.05.2007 | | Autor: | anitram |
hallo!
jetzt steh ich schon wieder bei dieser aufgabe an.
hab sie mir noch einmal angeschaut, und sehe jetzt einfach nicht mehr, wieso denn die maximumsnorm unbeschränkt sein sollte...
denn bei dieser dreiecksfunktion ist die spitze des dreiecks doch immer bei 1, und das ist ja doch beschränkt.
denke ich hier schon wieder falsch???
vielen dank schon mal im voraus!
lg anitram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Mo 07.05.2007 | | Autor: | wauwau |
max [mm] (f_{n}(x)) [/mm] = [mm] f_{n}(\bruch{1}{n}) [/mm] = n
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Mo 07.05.2007 | | Autor: | anitram |
hallo!
danke für deine antwort!
so sehe ich das ja ein, aber das problem ist, dass ich für
[mm] f_{n}(x):= [/mm] nx für 0 < x < 1/n habe.
und dann ist ja der größte wert n*(1/n) und das ist ja immer =1.
oder???
lg anitram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Mo 07.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Dann probier mal diese Funktion:
[mm] f_{n}(x)=\begin{cases} n^{\bruch{3}{2}}x, & \mbox{für } 0 \le x < 1/n \mbox{ } \\ 2n^{\bruch{1}{2}}-n^{\bruch{3}{2}}x, & \mbox{für } 1/n \le n < 2/n \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
[mm] L_2 [/mm] beschränkt [mm] L_{\infty}unbeschränkt...
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Mo 07.05.2007 | | Autor: | anitram |
mit dieser funktion scheint es nun tatsächlich zu klappen 
danke!
lg anitram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mi 25.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Die [mm] L_{2} [/mm] Norm ist
[mm] (\integral_{}^{}{f^2(x) dx}))^\bruch{1}{2} [/mm]
[mm] (\integral_{-\epsilon}^{+\epsilon}{\bruch{1}{\epsilon}(1-\bruch{|x|}{\epsilon}) dx})^\bruch{1}{2} = (2* \integral_{0}^{+\epsilon}{\bruch{1}{\epsilon}(1-\bruch{x}{\epsilon}) dx} )^\bruch{1}{2} = 1[/mm]
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