nochmal was zur Norm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | X=Y= C([0,1]), , [mm] ||f||_x [/mm] = [mm] ||f||_C; [/mm] [C=C([0,1]) , T: X->Y definiert durch Tf=f'
zu zeigen: T ist linear und nur dann stetig wenn gilt :
[mm] ||f||_C \le C*||f|_C ....C\ge [/mm] 0 ; C=C([f]) |
Sooo...jetzt habe ich beim ersten einfach nur gezeigt das folgendes gilt:
(Also eben die Linearität)
T(f+g)=Tf + Tg
T( f)= [mm] \alpha [/mm] Tf
T(f+g)= (f+g)'= f' + g'= Tf + Tg
[mm] T(\alpha [/mm] f) = [mm] (\alpha [/mm] f)' [mm] =\alpha [/mm] f' = [mm] \alpha [/mm] Tf
damit ist das ja schonmal gezeigt ne?
mhm...und noch eine Frage...Die Bedingung für die stetigkeit:
T ist stetig [mm] \gdw ||f||_C \le C*||f||_c ....C\ge [/mm] 0
Irgendwie kann die doch nicht stimmen...oder?
wenn [mm] C\ge1, [/mm] dann wäre es ja logisch...
aber irgendwie z.b bei C= 0,5 doch nicht oder?
Hoffe das es jetzt lesbar ist....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Sa 02.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandra!
> X=Y= C([0,1]), , [mm]||f||_x[/mm] = [mm]||f||_C;[/mm] [C=C([0,1]) , T: X->Y
> definiert durch Tf=f'
>
> zu zeigen: T ist linear und nur dann stetig wenn gilt :
> [mm]||f||_C \le C*||f|_C ....C\ge[/mm] 0 ; C=C([f])
Soll die Bedingung fuer ein $f$ gelten? Oder fuer alle $f$? Und das $C$ hat hier zwei Bedeutungen, einmal eine Konstante, und einmal $C([0, 1])$? Oder soll $C([f])$ was anderes als $C([0,1])$ sein (wenn ja, was?)? Und wenn $C$ eine Konstante ist, soll sie fuer alle $f$ gelten, oder nur fuer eins? Und bist du dir sicher, dass in der Gleichung nur [mm] $||f||_C$ [/mm] auftaucht und nicht $||T [mm] f||_C$? [/mm] Und $C([0,1])$ ist die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen? Oder hat $C([0,1])$ auch verschiedene Bedeutungen?
Ich gehe mal davon aus, dass du folgendes meinst (hab die Konstante $C$ mal in $K$ umbenannt): $T [mm] \text{ stetig } \Leftrightarrow \exists [/mm] K [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] C([0,1]) : [mm] \| [/mm] T f [mm] \|_{C([0,1])} \le [/mm] K [mm] \cdot \| [/mm] f [mm] \|_{C([0,1])}$.
[/mm]
Und wenn du dir mal die Definition von Stetigkeit fuer lineare Operatoren anschaust, wirst du sehen, dass dies genau die Definition davon ist, dass $T$ stetig ist (unter der Voraussetzung, dass $T$ linear ist)!
> Sooo...jetzt habe ich beim ersten einfach nur gezeigt das
> folgendes gilt:
> (Also eben die Linearität)
> T(f+g)=Tf + Tg
> T( f)= [mm]\alpha[/mm] Tf
>
> T(f+g)= (f+g)'= f' + g'= Tf + Tg
> [mm]T(\alpha[/mm] f) = [mm](\alpha[/mm] f)' [mm]=\alpha[/mm] f' = [mm]\alpha[/mm] Tf
>
> damit ist das ja schonmal gezeigt ne?
Genau.
> mhm...und noch eine Frage...Die Bedingung für die
> stetigkeit:
> T ist stetig [mm]\gdw ||f||_C \le C*||f||_c ....C\ge[/mm] 0
> Irgendwie kann die doch nicht stimmen...oder?
> wenn [mm]C\ge1,[/mm] dann wäre es ja logisch...
> aber irgendwie z.b bei C= 0,5 doch nicht oder?
Damit sie nicht stimmt, musst du zu jedem $K [mm] \ge [/mm] 0$ ein $f [mm] \in [/mm] C([0,1])$ angeben mit $||T [mm] f||_{C([0,1])} [/mm] > [mm] ||f||_{C([0,1])}$. [/mm] Also eine Funktion, die auf $[0, 1]$ den Betrag [mm] $\le [/mm] 1$ hat, aber deren Ableitung an einer irgendeiner Stelle im Intervall beliebig gross wird.
Hinweis: Schau dir doch mal den Sinus an. Was passiert, wenn ihn mit einer linearen Funktion (von der richtigen Seite, welche das ist, musst du selber herausfinden!) verkettest?
LG Felix
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