nochmal lineare Unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 So 23.05.2004 | | Autor: | mausi |
Hallo
ich soll die folgenden Teilmengen des [mm] R^5 [/mm] bzw R[x] auf lineare Unabhängigkeit untersuchen
a){(4,1,1,0,-2),(0,1,4,-1,2),(4,3,9,-2,2),(1,1,1,1,1),(0,-2,-8,2,-4)}
[mm] b){(x-1)^3,x^2 + 2x - 1,2x^2 - 5x + 1,x + 3}
[/mm]
wie gehe ich da bitte vor,wäre lieb wenn mir das jemand an einem Bsp zeigen könnte
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 So 23.05.2004 | | Autor: | Frosty |
> Hallo
> ich soll die folgenden Teilmengen des [mm] R^5 [/mm] bzw R[x] auf
> lineare Unabhängigkeit untersuchen
>
> a){(4,1,1,0,-2),(0,1,4,-1,2),(4,3,9,-2,2),(1,1,1,1,1),(0,-2,-8,2,-4)}
> [mm] b){(x-1)^3,x^2 + 2x - 1,2x^2 - 5x + 1,x + 3}
[/mm]
>
> wie gehe ich da bitte vor,wäre lieb wenn mir das jemand an
> einem Bsp zeigen könnte
>
Ich hoffe, dass ich dir helfen kann. Habe zwar grade erst angefangen Mathe zu studieren, aber wenn ich dir Mist erzähle, werden es die anderen hier schon merken :).
Zum Testen der linearen Abhängigkeit von Vektoren gibt es ein einfaches Werkzeug:
[mm]\lambda_1 \cdot \vec a + \lambda_2 \cdot \vec b + \lambda_3 \cdot \vec c = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm]
Also musst du einfach nur ein lineares Gleichungssystem aufstellen und gucken ob [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm] herauskommt. In meinem Beispiel würde es drei Gleichungen geben:
[mm]\lambda_1 \cdot a_1 + \lambda_2 \cdot b_1 + \lambda_3 \cdot c_1 = 0[/mm]
[mm]\lambda_1 \cdot a_2 + \lambda_2 \cdot b_2 + \lambda_3 \cdot c_2 = 0[/mm]
[mm]\lambda_1 \cdot a_3 + \lambda_2 \cdot b_3 + \lambda_3 \cdot c_3 = 0[/mm]
wobei [mm]\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}[/mm] ist.
Das musst du einfach ausrechnen und kannst dann sehen ob die Vektoren linear unabhängig sind.
Ich habe a) und b) in meinen Taschenrechner eingegeben und herausbekommen, dass a) nicht linear abhängig und b) linear abhängig. Wenn du nicht so ganz verstanden hast, was ich dir versucht habe zu erklären, dann melde dich noch mal.
Bernhard
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 So 23.05.2004 | | Autor: | mausi |
bei a) müsste aber raus kommen das die Menge linear abhängig ist denn für alle Parameter kommt 0 raus oder sehe ich das falsch???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 So 23.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mausi,
die Vektoren sind linear abhängig, das ist richtig, aber die Begründung ist vollkommen falsch.
Wenn herausgekommen wäre, dass notwendig alle Parameter gleich $0$ wären, dann wären die fünf Vektoren ja linear unabhängig. Stattdessen ist aber das Gegenteil wahr: Es gibt auch Parameter, die zu einer nicht-trivialen Darstellung des Nullvektors führen.
Das siehst du daran, wennn du auf die Koeffizientenmatrix
[mm]\begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & 9 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -8 & 2 & -4 \end{pmatrix}[/mm]
den Gauß-Algorithmus anwendest. Sollte ich mich nicht verrechnet haben (was eher unwahrscheinlich ist), dann kommst du auf
[mm]\begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 9 & -7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
Das Auftreten von Nullzeilen bedeutet aber gerade die lineare Abhängigkeit.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 23.05.2004 | | Autor: | mausi |
muss die Koeffizientenmatrix nicht so aufgestellt werden???
4 0 4 1 0
1 1 3 1 -2
1 4 9 1 -8
0 -1 -2 1 2
-2 2 2 1 -4
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 So 23.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mausi,
> muss die Koeffizientenmatrix nicht so aufgestellt
> werden???
> 4 0 4 1 0
> 1 1 3 1 -2
> 1 4 9 1 -8
> 0 -1 -2 1 2
> -2 2 2 1 -4
wenn man eine naheliegenden Weg gehen wollte, ja  aber du hast die Vektoren ja aber auch als Zeilenvektoren angegeben, weswegen Stefan die Matrix so aufgestellt hat.
Stefans Matrix ist ja sozusagen die transponierte Matrix der Koeffizientenmatrix, und zum Glück gilt:
Spaltenvektoren einer Matrix sind linear abhängig [mm] \gdw [/mm] Zeilenvektoren sind linear abhängig.
so dass Stefans Bemerkungen weiterhin Gültigkeit haben.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:14 Mo 24.05.2004 | | Autor: | mausi |
also wenn ich die Koeffizientenmatrix aufstelle aus den 5 Vektoren und teste ob sie linear abhängig sind,setze ich die Gleichungen ja 0
quasi wäre die Matrix
4 0 4 1 0 |0
1 1 3 1 -2 |0
1 4 9 1 -8 |0
0 -1 -2 1 2 |0
-2 2 2 1 -4 |0
oder???
und dann
Durch Division der 1. Zeile durch 4 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:
1
1 0 1 0 0
4
1 1 3 1 - 2 0
1 4 9 1 - 8 0
0 - 1 - 2 1 2 0
- 2 2 2 1 - 4 0
Mit der 1. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 1. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 2. Zeile wird das -1fache der 1. Zeile addiert:
1
1 0 1 0 0
4
3
0 1 2 - 2 0
4
1 4 9 1 - 8 0
0 - 1 - 2 1 2 0
- 2 2 2 1 - 4 0
Zur 3. Zeile wird das -1fache der 1. Zeile addiert:
1
1 0 1 0 0
4
3
0 1 2 - 2 0
4
3
0 4 8 - 8 0
4
0 - 1 - 2 1 2 0
- 2 2 2 1 - 4 0
Zur 5. Zeile wird das 2fache der 1. Zeile addiert:
1
1 0 1 0 0
4
3
0 1 2 - 2 0
4
3
0 4 8 - 8 0
4
0 - 1 - 2 1 2 0
3
0 2 4 - 4 0
2
Das Diagonalenfeld der 2. Zeile ist bereits 1.
Mit der 2. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 2. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 3. Zeile wird das -4fache der 2. Zeile addiert:
1
1 0 1 0 0
4
3
0 1 2 - 2 0
4
9
0 0 0 - 0 0
4
0 - 1 - 2 1 2 0
3
0 2 4 - 4 0
2
Zur 4. Zeile wird die 2. Zeile addiert:
1
1 0 1 0 0
4
3
0 1 2 - 2 0
4
9
0 0 0 - 0 0
4
7
0 0 0 0 0
4
3
0 2 4 - 4 0
2
Zur 5. Zeile wird das -2fache der 2. Zeile addiert:
1
1 0 1 0 0
4
3
0 1 2 - 2 0
4
9
0 0 0 - 0 0
4
7
0 0 0 0 0
4
0 0 0 0 0 0
In der 5. Zeile sind alle Koeffizienten 0.
> Das Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung.
das heisst ja ausser 0 hat es weiter keine eindeutige Lösung und somit ist es linear abhängig???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
> also wenn ich die Koeffizientenmatrix aufstelle aus den 5
> Vektoren und teste ob sie linear abhängig sind,setze ich
> die Gleichungen ja 0
> quasi wäre die Matrix
>
> 4 0 4 1 0 |0
> 1 1 3 1 -2 |0
> 1 4 9 1 -8 |0
> 0 -1 -2 1 2 |0
> -2 2 2 1 -4 |0
>
> oder???
Ja, genau.
Wie du in der Folge aber feststellst, brauchst du die Nullen in der 6. Spalte nicht mitzuschleppen. Denn mit dem Verfahren erzeugst du ja einfach Linearkombinationen der gegebenen Vektoren. Und wenn dann mal eine Zeile mit lauter Nullen auftaucht, dann hast du ja einen Nullvektor erzeugt. Dieser ist dann also eine Linearkombination der übrigen Zeilen (und zwar keine triviale, weil du ja niemals eine Zeile mit $0$ multiplizieren darfst).
>
> Zur 5. Zeile wird das -2fache der 2. Zeile addiert:
>
>
> 1
> 1 0 1 0 0
> 4
>
> 3
> 0 1 2 - 2 0
> 4
>
> 9
> 0 0 0 - 0 0
> 4
>
> 7
> 0 0 0 0 0
> 4
>
> 0 0 0 0 0 0
>
>
>
> In der 5. Zeile sind alle Koeffizienten 0.
>
> > Das Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung.
>
Die Matrix sieht dann also so aus:
[mm]\begin {pmatrix}1&0&1&\bruch{1}{4}&0\\0&1&2&\bruch{3}{4}&-2\\0&0&0&-\bruch{9}{4}&0\\0&0&0&\bruch{7}{4}&0\\0&0&0&0&0 \end{pmatrix} [/mm]
Hier könnte man noch das 7-fache der 3. Zeile zum 9-fachen der 4 Zeile addieren:
[mm]\begin {pmatrix}1&0&1&\bruch{1}{4}&0\\0&1&2&\bruch{3}{4}&-2\\0&0&0&-\bruch{9}{4}&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0 \end{pmatrix} [/mm]
Dann siehst du nämlich auch, dass 3 Zeilen linear unabhängig sind, mit anderen Worten: sie spannen einen 3-dimensionalen Unterraum auf.
> das heisst ja ausser 0 hat es weiter keine eindeutige
> Lösung und somit ist es linear abhängig???
>
Das ist aber merkwürdig formuliert!
Entweder hat ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, oder eben nicht. Und das homogene System hat den Nullvektor immer als Lösung. Wenn neben dem Nullvektor noch weitere Lösungen existieren, dann hat es eben nicht eine eindeutige Lösung.
Nebenbei: die Lösungen dieses Gleichungssystems spannen einen 2-dimensionalen Unterraum auf.
Liebe Grüsse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 23.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> ich soll die folgenden Teilmengen des [mm] R^5 [/mm] bzw R[x] auf
> lineare Unabhängigkeit untersuchen
>
> a){(4,1,1,0,-2),(0,1,4,-1,2),(4,3,9,-2,2),(1,1,1,1,1),(0,-2,-8,2,-4)}
Das dürfte mit Frostys Hilfe klar sein, oder?
Statt Frostys drei Gleichungen nimmst du natürlich hier 5 Gleichungen und 5 Parameter [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_5$.
[/mm]
Eine alternative Lösungsmöglichkeit wäre es übrigens, die lineare (Un-) Abhängigkeit mittels Determinaten zu ermitteln; ist das vielleicht zur Zeit Thema bei Euch? Falls ja, können wir ja auch diesen Weg vorstellen.
> [mm] b){(x-1)^3,x^2 + 2x - 1,2x^2 - 5x + 1,x + 3}
[/mm]
Hier ist vielleicht zunächst interessant, was überhaupt eine Basis dieses Vektorraumes ist und wie die Vektoren in Komponentenschreibweise aussehen.
Also, eine Basis bilden offenbar die Vektoren [mm] $\blue{x^0, x^1, x^2, x^3,\ldots}$, [/mm] allerdings wissen wir gar nicht, welche Dimension der Vektorraum haben soll. Steht das vielleicht noch irgendwo in der Aufgabe? Falls nicht, ist auch nicht schlimm, ich nehme dann mal die kleinste Dimension 4 an.
Bezüglich dieser Basisvektoren hätte z.B. der zweite Vektor [mm] $x^2+2x-1$ [/mm] folgende Komponenten: (0, 1, 2, -1), denn:
[mm] $x^2 [/mm] + 2x - [mm] 1=0*\blue{x^3}+1*\blue{x^2}+2*\blue{x^1}+(-1)*\blue{x^0}$
[/mm]
Wenn du so für jeden Vektor die Komponenten ermittelt hast, kannst du sie wie in a) auf lineare (Un-) Abhängigkeit überprüfen.
Wenn du damit nicht zurecht kommst, melde dich einfach wieder 
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
