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| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe des [mm] \varepsilon-\delta-Kriteriums, [/mm] dass die Wurzelfunktion [mm] \wurzel:[0, \infty[ \to \IR, [/mm] x [mm] \to \wurzel{x} [/mm] stetig ist.
[mm] \varepsilon-\delta-Kriterium:
[/mm]
Sei a [mm] \in [/mm] D [mm] \subset \IR, [/mm] und es sei f: D [mm] \to \IR [/mm] gegeben. Dann gilt:
f ist stetig in a
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D: (|x - a| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon). [/mm] |
Hallo,
ich habe oben genannte Aufgabe und eine Musterlösung, verstehe sie aber leider wieder mal nicht:
"Seien a [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty[ [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Für jedes x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty[ [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] a gilt
[mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{a}| [/mm] = [mm] |\bruch{(\wurzel{x} - \wurzel{a})(\wurzel{x} - \wurzel{a})}{\wurzel{x} + \wurzel{a}}|
[/mm]
Da aufgrund der Dreiecksungleichung
[mm] |\wurzel{x}-\wurzel{a}| \le |\wurzel{x}| [/mm] + | - [mm] \wurzel{a} [/mm] | = [mm] \wurzel{x} [/mm] + [mm] \wurzel{a} [/mm]
gilt, folgt
[mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{a}| [/mm] = [mm] \bruch{|x - a|}{\wurzel{x} + \wurzel{a}} \le \bruch{|x - a|}{|\wurzel{x} - \wurzel{a}|}, [/mm] d.h.
[mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{a}|^2 \le [/mm] |x - a|."
Hier muss ich mal kurz unterbrechen. Wie kommt man denn von
[mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{a}| [/mm] = [mm] \bruch{|x - a|}{\wurzel{x} + \wurzel{a}} \le \bruch{|x - a|}{|\wurzel{x} - \wurzel{a}|}
[/mm]
auf
[mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{a}|^2 \le [/mm] |x - a|??
"Die letzte Beziehung gilt sogar im Fall x = a. Setzen wir [mm] \delta [/mm] := [mm] \varepsilon^2, [/mm] so gilt (Monotonie der Wurzelfunktion!)
[mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{a}| \le \wurzel{|x - a|} [/mm] < [mm] \wurzel{\delta} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
für jedes x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty[ [/mm] mit |x - a| < [mm] \delta."
[/mm]
Ich versteh die Schlussfolgerung leider gar nicht. Wie kommt man denn von den Ungleichungen zwischen x und a auf einmal auf [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta. [/mm] Ich versteh den Ansatz irgendwie nicht. Kann mir den bitte einer erklären?
Danke,
Martin
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> "Seien a [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty[[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig
> vorgegeben. Für jedes x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty[[/mm] mit x [mm]\not=[/mm] a gilt
>
> [mm]|\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{a}|[/mm] = [mm]|\bruch{(\wurzel{x} - \wurzel{a})(\wurzel{x} - \wurzel{a})}{\wurzel{x} + \wurzel{a}}|[/mm]
>
> Da aufgrund der Dreiecksungleichung
>
> [mm]|\wurzel{x}-\wurzel{a}| \le |\wurzel{x}|[/mm] + | - [mm]\wurzel{a}[/mm] |
> = [mm]\wurzel{x}[/mm] + [mm]\wurzel{a}[/mm]
>
> gilt, folgt
>
> [mm]|\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{a}|[/mm] = [mm]\bruch{|x - a|}{\wurzel{x} + \wurzel{a}} \le \bruch{|x - a|}{|\wurzel{x} - \wurzel{a}|},[/mm]
> d.h.
>
> [mm]|\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{a}|^2 \le[/mm] |x - a|."
>
> Hier muss ich mal kurz unterbrechen. Wie kommt man denn
> von
>
> [mm]|\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{a}|[/mm] = [mm]\bruch{|x - a|}{\wurzel{x} + \wurzel{a}} \le \bruch{|x - a|}{|\wurzel{x} - \wurzel{a}|}[/mm]
>
> auf
>
> [mm]|\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{a}|^2 \le[/mm] |x - a|??
Hallo,
das ist keine Zauberei:
[mm]|\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{a}|[/mm] = [mm]\bruch{|x - a|}{\wurzel{x} + \wurzel{a}} \le \bruch{|x - a|}{|\wurzel{x} - \wurzel{a}|}[/mm]
==> [mm]|\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{a}|[/mm] [mm] \le \bruch{|x - a|}{|\wurzel{x} - \wurzel{a}|}.
[/mm]
Und nun beide Seiten mit [mm] {|\wurzel{x} - \wurzel{a}|} [/mm] multiplizieren.
>
> "Die letzte Beziehung gilt sogar im Fall x = a. Setzen wir
> [mm]\delta[/mm] := [mm]\varepsilon^2,[/mm] so gilt (Monotonie der
> Wurzelfunktion!)
>
> [mm]|\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{a}| \le \wurzel{|x - a|}[/mm] <
> [mm]\wurzel{\delta}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> für jedes x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty[[/mm] mit |x - a| < [mm]\delta."[/mm]
>
> Ich versteh die Schlussfolgerung leider gar nicht. Wie
> kommt man denn von den Ungleichungen zwischen x und a auf
> einmal auf [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]\delta.[/mm] Ich versteh den Ansatz
> irgendwie nicht. Kann mir den bitte einer erklären?
Ich nehme mal an, daß Du ganz am Anfang etwas vergessen/falsch abgeschrieben hast.
Statt
> "Seien a [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty[[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig
> vorgegeben. Für jedes x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty[[/mm] mit x [mm]\not=[/mm] a gilt
>
müßte dort etwas stehen wie
"Seien a [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty[[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig vorgegeben.
Für jedes x [mm] \in |a-\delta,a+\delta| [/mm] mit x [mm]\not=[/mm] a gilt..."
oder "...für jedes x [mm] \in U_{/varepsilon}(a)..."
[/mm]
oder "... für jedes x aus einer [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von a...".
Der Gedanke ist ja, daß man für beliebig vorgegebenes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein hierzu passendes [mm] \delta [/mm] findet, so daß das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium erfüllt ist.
Gruß v. Angela
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