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Hallo,
ich habe folgende Funktion und soll sie auf Differenzierbarkeit in x = 0 untersuchen:
f(x) = 2 + x falls x < 0
f(x) = [mm] \bruch{2}{1 + x} [/mm] falls x [mm] \ge [/mm] 0
Also die Funktion ist stetig in 0, also ist 0 auch Haefungspunkt. Soweit so gut.
Jetzt hab ich versucht, das mit
[mm] \bruch{f(x) - f(a)}{x - a}
[/mm]
zu machen. Da kommt im ersten Fall raus:
[mm] \bruch{(2 + x) - (2 + a)}{x - a} [/mm] = [mm] \bruch{2 + x - 2 - a}{x - a} [/mm] = [mm] \bruch{x - a}{x - a} \to \bruch{0}{0}
[/mm]
Was sagt mir das? Dass die Funktion nicht differenzierbar in 0 ist? Das kann doch nicht sein. Sie hat doch den stetigen Anstieg 1!
Wenn ich "von der anderen Seite" komme, ergibt sich:
[mm] \bruch{2(1 +a) - 2(1 + x)}{(1 + x)(1 + a)(x - a)}
[/mm]
Sprich, ich komm wieder mal auf keinen gruenen Zweig, um es umzustellen.
Wenn ich eine Funktion habe, die in einem Punkt von beiden Seiten mit einem anderen Polynom "auf den Punkt zugeht", muss die erste Ableitung dann von beiden Seiten gleich sein, damit es differenzierbar ist, oder wie verhaelt sich das ueberhaupt??
Danke und Gruss
Martin
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Hallo Martin,
> Hallo,
> ich habe folgende Funktion und soll sie auf
> Differenzierbarkeit in x = 0 untersuchen:
>
> f(x) = 2 + x falls x < 0
> f(x) = [mm]\bruch{2}{1 + x}[/mm] falls x [mm]\ge[/mm] 0
>
> Also die Funktion ist stetig in 0, also ist 0 auch
> Haefungspunkt. Soweit so gut.
> Jetzt hab ich versucht, das mit
>
> [mm]\bruch{f(x) - f(a)}{x - a}[/mm]
>
> zu machen.
Nimm direkt a=0, dann vereinfacht sich die Rechnung immens 
Da kommt im ersten Fall raus:
>
> [mm]\bruch{(2 + x) - (2 + a)}{x - a}[/mm] = [mm]\bruch{2 + x - 2 - a}{x - a}[/mm]
> = [mm]\bruch{x - a}{x - a} \to \bruch{0}{0}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das kannst du doch zu 1 kürzen. Damit ist der linksseitige GW 1
>
> Was sagt mir das? Dass die Funktion nicht differenzierbar
> in 0 ist? Das kann doch nicht sein. Sie hat doch den
> stetigen Anstieg 1!
>
> Wenn ich "von der anderen Seite" komme, ergibt sich:
>
> [mm]\bruch{2(1 +a) - 2(1 + x)}{(1 + x)(1 + a)(x - a)}[/mm]
>
> Sprich, ich komm wieder mal auf keinen gruenen Zweig, um es
> umzustellen.
>
> Wenn ich eine Funktion habe, die in einem Punkt von beiden
> Seiten mit einem anderen Polynom "auf den Punkt zugeht",
> muss die erste Ableitung dann von beiden Seiten gleich
> sein, damit es differenzierbar ist ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") , oder wie verhaelt sich
> das ueberhaupt??
>
> Danke und Gruss
>
> Martin
zum rechtsseitigen GW mal die Umstellung:(ich mach's mal allg. für [mm] a\ge [/mm] 0)
[mm] $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{\frac{2}{1+x}-\frac{2}{1+a}}{x-a}=\frac{1}{x-a}\cdot{}\frac{2(1+a)-2(1+x)}{(1+x)(1+a)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{x-a}\cdot{}\frac{2(a-x)}{(1+x)(1+a)}=-\frac{2}{(1+x)(1+a)}\rightarrow -\frac{2}{(1+a)^2}$ [/mm] für [mm] $x\rightarrow [/mm] a$
Also für [mm] x\rightarrow [/mm] 0 geht das gegen -2
Somit sind rechtsseitiger und linksseitiger GW verschieden, die Funktion also in 0 nicht diffbar.
Gruß
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus,
kannst du mir bitte erklären, nach welcher Regel du das hier umgestellt hast:
[mm] \bruch{1}{x - a} [/mm] * [mm] \bruch{2(a - x)}{(1 + x)(1 + a)} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{(1 + x)(1 + a)}
[/mm]
Du hast hier offensichtlich (x - a) mit (a - x) gekürzt und das Vorzeichen verdreht, aber ich kann die Regel dahinter nicht nachvollziehen :-(
Danke,
Martin
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Hallo Martin,
kann ich machen
es ist $2(a-x)=2(-1(x-a))=-2(x-a)$
Das habe ich dann gegen das x-a im Nenner gekürzt
Gruß
schachuzipus
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