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noch mehr DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Mo 21.03.2005
Autor: mausi

Hallo
nachdem ich nun die eine Aufgabe verstanden habe hänge ich schon wieder bei der nächsten
y'= [mm] \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} [/mm] y
wie bestimme ich hier eine allgemeine Lösung???
Danke

        
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noch mehr DGL: Vorgehensweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Mo 21.03.2005
Autor: MathePower

Hallo mausi,

zunächst mußt Du die Eigenwerte der Matrix A bestimmen.

[mm]A\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c} 3 & 2 \\ 2 & 0 \\ \end{array} } \right)[/mm]

Zur Bestimmung der Eigenwerte ist das charakterische Polynom nötig:

[mm]\det \left( {\begin{array}{*{20}c} {3 - \lambda } & 2 \\ 2 & { - \lambda } \\ \end{array} } \right)\; = \;0[/mm]

Die Lösungen hiervon sind die Eigenwerte.

Nun bestimmt man zu den Eigenwerten entsprechende Eigenvektoren:

Die Eigenvektoren zu einem Eigenvektor sind Lösungen von

[mm] \left( {\begin{array}{*{20}c} {3 - \lambda } & 2 \\ 2 & { - \lambda } \\ \end{array} } \right)\;x_\lambda \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right) [/mm]

Die allgemeine Lösung ergibt sich zu

[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c} {y_1 \left( t \right)} \\ {y_2 \left( t \right)} \\ \end{array} } \right)\; = \;c_1 \;x_{\lambda _1 } \;e^{\lambda _1 t} \; + \;c_2 \;x_{\lambda _2 } \;e^{\lambda 2t} [/mm]

Gruß
MathePower







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noch mehr DGL: auweia is ja lineare Algebra
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Mo 21.03.2005
Autor: mausi

hatte das letztes Semester aber schon wieder völlig vergessen wie das ging *heul*
hilfe bitte

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noch mehr DGL: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Di 22.03.2005
Autor: MathePower

Hallo mausi,

um die Eigenwerte der Matrix zu bestimmen, bestimmst zunächst das charakteristische Polynom:

[mm] \begin{gathered} \det \left( {\begin{array}{*{20}c} {3 - \lambda } & 2 \\ 2 & { - \lambda } \\ \end{array} } \right)\; = \;0 \hfill \\ \Leftrightarrow \;\left( {3 - \lambda } \right)\;\left( { - \lambda } \right)\; - \;4\; = \;0 \hfill \\ \Leftrightarrow \;\lambda ^2 \; - \;3\lambda \; - \;4\; = \;0 \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Hieraus bekommst zu 2 Lösungen[mm]\lambda_{1}[/mm] und [mm]\lambda_{2}[/mm]

Um jetzt einen Eigenvektor zu einem Eigenwert [mm]\lambda[/mm] zu bestimmen, löst Du das folgende Gleichungssystem:

[mm] \left( {\begin{array}{*{20}c} {3 - \lambda } & 2 \\ 2 & { - \lambda } \\ \end{array} } \right)\;x\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)[/mm]

Dies ist dann ein Gleichungssystem mit 2 parallelen Zeilen, wovon ja nur eine genügt zu betrachten.

Aus dieser Gleichung erhältst Du dann den Eigenvektor zu diesem Eigenwert.

Gruß
MathePower


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