nilpotenter endomorphismus < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 So 31.05.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und F: V [mm] \to [/mm] V ein nilpotenter Endomorphismus.Zeige mit Induktion nach n=dimV , dass [mm] P_{F}(t) [/mm] = [mm] \pm t^{n} [/mm] gilt und eine Basis B von V existiert mit
[mm] M_{B}(F) =\pmat{ 0 & * \\ 0 & 0 }
[/mm]
wobei die diagonale und der teil darunter nur aus Nullen besteht und alles oberhalb der Haupdiagonalen beliebig (ich glaube ungleich null) ist. |
Also hab mich jetz eine ganze zeit lang mit dieser aufgabe beschäftigt und versteh auch glaub ich warum der erste teil so ist, ich weiß nur nicht wie ich das mit induktion zeigen soll.
wär für hilfe sehr dankbar
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 So 31.05.2009 | | Autor: | schotti |
wiederum nur ein paar grundlegende ideen:
multipliziere erst einmal zwei beliebige 2mal2-matrizen  a,b;c,d. auf der diagonalen entstehen die quadrate [mm] a^2 [/mm] bzw. [mm] d^2 [/mm] (nebst weiteren summanden). um irgendwann 0 zu erhalten, müssen diese quadrate verschwinden, also a und d null sein. weiter kannst du dir überlegen, dass beim quadrieren einer matrix mit nirgends verschwindender nebendiagonale wieder einträge auf der hauptgeraden entstehen.
wenn du in zwei dimensionen den durchblick hast, dann kannst du jede (n+1)-dimensionale matrix in vier teilmatrizen unterteilen: oben links einen nxn-teil, unten rechts eine einzelne zahl. beim quadrieren verhält sich der nxn-teil gewissermassen "unabhängig" von der letzten zeile bzw. spalte. also kannst du alles vorwissen über nilpotente nxn-matrizen ins spiel bringen (daher also die idee mit der induktion).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:17 Mo 01.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und F: V [mm]\to[/mm] V
> ein nilpotenter Endomorphismus.Zeige mit Induktion nach
> n=dimV , dass [mm]P_{F}(t)[/mm] = [mm]\pm t^{n}[/mm] gilt und eine Basis B
> von V existiert mit
>
> [mm]M_{B}(F) =\pmat{ 0 & * \\ 0 & 0 }[/mm]
Also fuer $n = 1$ sollte es sehr einfach sein. Dort gibt es fuer $F$ genau eine einzige Wahl.
> wobei die diagonale und der teil darunter nur aus Nullen
> besteht und alles oberhalb der Haupdiagonalen beliebig (ich
> glaube ungleich null) ist.
> Also hab mich jetz eine ganze zeit lang mit dieser aufgabe
> beschäftigt und versteh auch glaub ich warum der erste teil
> so ist, ich weiß nur nicht wie ich das mit induktion zeigen
> soll.
Also zum Induktionsschritt. Zeige zuerst, dass $F$ einen Eigenvektor zum Eigenwert 0 hat. Dazu nimm irgendeinen nichttrivialen Vektor $v$ und betrachte $v = [mm] F^0(v)$, [/mm] $F(v) = [mm] F^1(v)$, \dots, $F^t(v)$ [/mm] wobei $t$ der Nilpotenzindex ist. Damit ist [mm] $F^t [/mm] = 0$, also [mm] $F^t(v) [/mm] = 0$. Somit gibt es ein groesstes $i [mm] \in \IN$ [/mm] mit $w := [mm] F^i(v) \neq [/mm] 0$.
Jetzt setze $w$ zu einer Basis von $V$ fort, sagen wir $w = [mm] w_1, w_2, \dots, w_n$. [/mm] Die Idee ist nun, $F$ auf den vom [mm] $w_2, \dots, w_n$ [/mm] erzeugten Unterraum (nennen wir ihn $W$) zu betrachten -- dieser hat Dimension $n - 1$.
Jetzt ist es aber so, dass $F$ nicht umbedingt auf $W$ eingeschraenkt werden kann, da nicht $F(W) [mm] \subseteq [/mm] W$ gelten muss. Jedoch kann an wie folgt vorgehen: sei [mm] $\pi [/mm] : V [mm] \to [/mm] W$ die Projektion auf $W$ gegeben durch die Basis [mm] $w_1, \dots, w_n$, [/mm] also [mm] $\pi(\sum_{i=1}^n \lambda_i w_i) [/mm] = [mm] \sum_{i=2}^n \lambda_i w_i$. [/mm] Damit ist [mm] $\pi \circ [/mm] F : W [mm] \to [/mm] W$ ein Endomorphismus, und wenn $B$ die Matrix von [mm] $\pi \circ [/mm] F$ bzgl. [mm] $w_2, \dots, w_n$ [/mm] ist, dann ist die Matrix von $F$ bzgl. [mm] $w_1, \dots, w_n$ [/mm] durch [mm] $\pmat{ 0 & * \\ 0 & B }$ [/mm] gegeben; das $*$ ist hierbei irgendetwas.
Wenn du jetzt zeigen kannst, dass [mm] $\pi \circ [/mm] F$ ebenfalls nilpotent ist, so folgt schliesslich die Behauptung per Induktion: man kann [mm] $w_2, \dots, w_n$ [/mm] durch eine andere Basis von $W$ ersetzen, so dass $B$ die gewuenschte Form hat, und das charakteristische Polynom hat dann auch die gewuenschte Form.
LG Felix
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