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Forum "Uni-Lineare Algebra" - nilpotenter Endom. u. EW
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nilpotenter Endom. u. EW : suche Ansatz zum Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Mo 26.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

Für folgende Aufgabe suche ich einen Ansatz:

Zeigen Sie: Ein nilpotenter Endomorphismus hat null als einzigen Eigenwert.

Ich stelle mir für den Endomorphismus jetzt mal eine Matrix A vor. Dann bedeutet nilpotent:

[mm] \exists n\in\IN, [/mm] so dass [mm] A^n=0 [/mm]

Wie aber bekommt man dann einen Eigenwert heraus? Oder muss ich den Beweis anders angehen? Wäre für einen Tipp dankbar.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

        
Bezug
nilpotenter Endom. u. EW : Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Mo 26.09.2005
Autor: t.sbial

Das geht auch ohne Matrizen. Für einen nilpotenten End. gilt:

[mm] f^{n}(x)=0 [/mm] für ein natürliches n.
wobei [mm] f^{n}=\underbrace{f \circ... \circ f}_{n-mal} [/mm]
Dann gilt ist
f(x)=kx  => [mm] f^{n}(x)=k^{n}x [/mm]
Ds zeigt man mit Induktion über n. Probiers mal benutzt nur die Definitionen.
Und damit kann man dann auch die Aufgabe lösen.
Bezug
                
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nilpotenter Endom. u. EW : mmh...?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:43 Mo 26.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo t.sbial!

Vielen Dank für deinen Tipp! :-)

> Das geht auch ohne Matrizen. Für einen nilpotenten End.
> gilt:
>  
> [mm]f^{n}(x)=0[/mm] für ein natürliches n.
>  wobei [mm]f^{n}=\underbrace{f \circ... \circ f}_{n-mal}[/mm]
>  Dann
> gilt ist
>  f(x)=kx  => [mm]f^{n}(x)=k^{n}x[/mm]

>  Ds zeigt man mit Induktion über n. Probiers mal benutzt
> nur die Definitionen.

Das ist doch ein Einzeiler, oder?

IA: n=1

[mm] f^1(x)=k^1x \to [/mm] stimmt :-)

IV: [mm] \forall [/mm] n gilt: [mm] f^n(x)=k^nx [/mm]

IS: [mm] n\to [/mm] n+1

[mm] f^{n+1}(x)=f\circ f^n(x)=f\circ(k^nx)=k*k^nx=k^{n+1}x [/mm]

q.e.d.

>  Und damit kann man dann auch die Aufgabe lösen.  

Ja, und zwar so:

für Eigenwert k gilt:

f(x)=kx

da ein n existiert, so dass [mm] f^n(x)=0, [/mm] wäre dann [mm] f^n(x)=k^nx=0 [/mm]

da [mm] x\not=0 [/mm] folgt k=0

Wobei ich mir hier gerade gar nicht sicher bin, ob das so richtig ist. Warum müsste denn dann auch [mm] f^n(x)=k^nx [/mm] sein? Also, ich meine, eigentlich ist die Bedingung ja nur f(x)=kx. Oder vielleicht ist meine Lösung doch nicht richtig...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]



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nilpotenter Endom. u. EW : Linearität!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:14 Di 27.09.2005
Autor: leduart

Hallo Bastiane
Du hast die Linearität vergessen f linear: f(r*x)=r*f(x).
Gute Nacht leduart
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nilpotenter Endom. u. EW : Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:07 Di 27.09.2005
Autor: t.sbial

Deine Idee ist die Richtige und stimmt eigenlich auch. Formuliere es doch als Widersruchsbeweis.
Angennomen es gibt einen EW k [mm] \not=0 [/mm]
Da f nilpotent ist folgt dann wegen dem eben bewiesenen:
[mm] f^{n}(x)=k^{n}x=0 [/mm]  => [mm] k^{n}=0 [/mm] da x [mm] \not=0 [/mm]  Also k=0  

Gruß T.Sbial
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nilpotenter Endom. u. EW : Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 Di 27.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

@ leduart:

Wo brauche ich denn die Linearität? Das sehe ich irgendwie grad' nicht. [haee]


@ T.Sbial:

> Deine Idee ist die Richtige und stimmt eigenlich auch.
> Formuliere es doch als Widersruchsbeweis.
>  Angennomen es gibt einen EW k [mm]\not=0[/mm]
>  Da f nilpotent ist folgt dann wegen dem eben bewiesenen:
>  [mm]f^{n}(x)=k^{n}x=0[/mm]  => [mm]k^{n}=0[/mm] da x [mm]\not=0[/mm]  Also k=0  

Danke für deine Antwort - damit war die Aufgabe ja doch recht simpel, wenn man den richtigen Ansatz hatte. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[banane]

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