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nilpotente Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 Mi 08.04.2009
Autor: abakus86

Hallo ihr!

Ich hab mal schnell ne kurze Frage zu einer Aufgabe.
Ich habe hier eine Matrix A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

Jetzt soll ich die Matrix B = [mm] SAS^{-1} [/mm] angeben, die in kanonischer Form sein soll, d.g. [mm] B(e_{1}) [/mm] = 0 und [mm] B(e_{i}) [/mm] = [mm] e_{i-1} [/mm] oder [mm] B(e_{i} [/mm] = 0 für alle i = 2,...,5

Ähm ja... hab ich nicht so ganz verstanden, aber wenn die Matrix A hat nur einen Rang von 2, d.h. B kann auch nur den Rang 2 haben, richtig?

Von daher könnte B dann wie folgt aussehen ?
B = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

Ich muss auch nur B angeben, keine Transformationsmatrix oder so.

Vielen Dank schonmal für Tipps.

Gruß, abakus

        
Bezug
nilpotente Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Mi 08.04.2009
Autor: Blech


> Ähm ja... hab ich nicht so ganz verstanden, aber wenn die
> Matrix A hat nur einen Rang von 2, d.h. B kann auch nur den
> Rang 2 haben, richtig?

Richtig. Es B muß den gleichen Rang haben wie A.

>  
> Von daher könnte B dann wie folgt aussehen?

Ja.

Allerdings ist das nicht auf Anhieb klar.

$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $

wäre auch möglich und es gibt keine Ähnlichkeitstransformation zwischen den beiden. Für eine korrekte Wahl von B mußt Du denk ich den Weg wie bei der Bestimmung der Größe der Jordanblöcke für die Jordannormalform gehen und schauen, wie sich der Kern von

[mm] $A^s$ [/mm]

entwickelt (da alle Eigenwerte 0 sind).

ciao
Stefan

Bezug
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