nilpotente Endomorphismen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Fr 13.06.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | i) Existiert ein nilpotenter Endomrphismus vom Nilpotenzgrad 3 auf einem zweidimensionalen Vektorraum? Begründen Sie ihre Antwort.
ii) Zeigen Sie, daß ein nilpotenter Endomorphismus auf einem endlichen-dimensionalen Vektorraum die Spur Null hat.
iii) Seien A und B zwei Endomorphismen auf dem selben endlich-dimensionalen Vektorraum und [A,B]:=AB-BA ihr Kommutator. Zeigen Sie, daß dann 1-[A,B] nicht nilpotent ist. |
Hallo,
Mathe ist glaub ich echt nicht mein Ding, aber muss man durch, gell? Ich muss die Aufgaben lösen, aber zuerst wollte ich mal fragen ob mir jemand vielleicht erstmal anschaulich Endomorphismen näherbringen könnte.
Nilpotenz habe ich glaube ich verstanden, zumindest ist es ja glaub ich dass die endliche Hintereinanderausführung eines nilpotenten Endomorphismus gleich null ist, oder?
Aber allgemein steig ich da irgendwie nicht hinter bei den Aufgaben.
|
|
| |
|
Hallo!
Sicher ist dir bekannt, dass Endomorphismen lineare Abbildungen von V nach V sind, d.h. den gleichen Urbildraum wie Bildraum haben. Zu solchen existieren auch immer Darstellungsmatrizen. Nilpotente Endomorphismen bilden, wie du richtig gesagt hast, wenn ich sie nur oft genug hintereinander ausführe, irgendwann alle Elemente aus dem Urbildraum auf den Nullvektor ab. Praktisch wird die Darstellungsmatrix eines Endomorphismus bei einer solchen Anzahl an Hintereinanderausführungen zur Nullmatrix.
Der Nilpotenzgrad bezeichnet im Normalfall die kleinste Anzahl an Hintereinanderausführungen, damit der Endomorphismus zur Nullabbildung wird.
Zumindest zur ersten Frage kann ich eine Antwort geben: Nein, einen solchen Endomorphismus gibt es nicht. Die analytische Begründung: nilpotente Endomorphismen sind ähnlich zu einer echten oberen Dreiecksmatrix, d.h. auch in der Hauptdiagonalen stehen Nullen. Eine solche Matrix nxn-Matrix wird aber spätestens nach der n-ten Multiplikation mit sich selbst zur Nullmatrix, d.h. der Nilpotenzgrad solcher Matrizen (und damit auch allgemein nilpotenter Abbildungen) beträgt höchstens n.
Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 15.06.2008 | | Autor: | chipbit |
Okay, danke dir! Ich hoffe ich behalte das ne Weile ![[hammer]](/images/smileys/hammer.gif "[hammer]")
aber es hat mir schon echt geholfen
|
|
|
| |
|
> ii) Zeigen Sie, daß ein nilpotenter Endomorphismus auf
> einem endlichen-dimensionalen Vektorraum die Spur Null
> hat.
Hallo,
kennst Du die Eigenwerte eines nilpotenten Endomorphismus?
Weißt Du, daß die Spur die Summe der Eigenwerte ist?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 So 15.06.2008 | | Autor: | chipbit |
Mh, aufgrund der Antwort zu i) (Danke dafür!), also dass ein nilpotenter Endomorphismus ähnlich einer echten oberen Dreiecksmatrix ist und somit ja "unten" dann Nullen stehen hat, sowie auch auf der Hauptdiagonalen würde ich vermuten dass die Eigenwerte 0 sind. Und da die Spur die Summe der Eigenwerte ist ist diese dann folglich ja auch 0. Das ist mir dann ja klar.
Nur, ich soll das ja zeigen. Wie kann ich das denn machen? Also wie schreibe ich dann am besten so einen nilpotenten Endomorphismus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 So 15.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Mh, aufgrund der Antwort zu i) (Danke dafür!), also dass
> ein nilpotenter Endomorphismus ähnlich einer echten oberen
> Dreiecksmatrix ist und somit ja "unten" dann Nullen stehen
> hat, sowie auch auf der Hauptdiagonalen würde ich vermuten
> dass die Eigenwerte 0 sind.
genau.
> Und da die Spur die Summe der
> Eigenwerte ist ist diese dann folglich ja auch 0. Das ist
> mir dann ja klar.
> Nur, ich soll das ja zeigen. Wie kann ich das denn machen?
> Also wie schreibe ich dann am besten so einen nilpotenten
> Endomorphismus?
am einfachsten, indem du eine darstellende Matrix M betrachtest.
Nimm an, es gäbe einen Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ungleich Null und der zugehörige Eigenvektor sei u.
Was wäre dann [mm] $M^n [/mm] * u$ für beliebiges $n [mm] \in \IN$ [/mm] ?
Kann das der Nullvektor sein?
LG
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 15.06.2008 | | Autor: | chipbit |
mh...so ganz verstehe ich jetzt nicht was das mit dem Nullvektor zu tun hat.
Ich dachte mir jetzt wenn M folgendermassen aussieht M = [mm] P^{-1} \begin{pmatrix}0 & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & b_{n-1,n} \\ 0 & \cdots & 0 & 0\end{pmatrix} [/mm] P dann kann man doch auf das charakteristische Polynom schliessen [mm] \chi_M(\lambda) [/mm] = [mm] det(\lambda [/mm] E - M) [mm] =\lambda^n [/mm] daraus ist eben zu ersehen dass der Eigenwert 0 ist und wenn man dann davon ausgeht das eben entweder die Summe der Diagonalelemente die Spur ist oder eben die Summe der Eigenwerte, dann ist die Spur ja 0.
Mich würde aber trotzdem jetzt interessieren was du mit dem Nullvektor meinst, denn ich bin mir nicht sicher ob meine Argumentation zum zeigen reicht.
|
|
|
| |
|
> mh...so ganz verstehe ich jetzt nicht was das mit dem
> Nullvektor zu tun hat.
> Ich dachte mir jetzt wenn M folgendermassen aussieht M =
> [mm]P^{-1} \begin{pmatrix}0 & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & b_{n-1,n} \\ 0 & \cdots & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> P dann kann man doch auf das charakteristische Polynom
> schliessen [mm]\chi_M(\lambda)[/mm] = [mm]det(\lambda[/mm] E - M) [mm]=\lambda^n[/mm]
> daraus ist eben zu ersehen dass der Eigenwert 0 ist
Hallo,
was Du schreibst stimmt natürlich, aber es setzt voraus, daß Du aus der Vorlesung oder sonstwo her (außer vom steppenhahn) bereits weißt, daß nilpotente Matrizen ähnlich zu einer Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Hauptdiagonalen sind.
Insofern bin ich bezgl. Deiner Argumentation sehr skeptisch.
Nilpotenz bedeutet ja, daß es ein k gibt mit [mm] A^k=Nullmatrix, [/mm] hieraus folgt, daß das Minimalpolynom die Gestalt [mm] x^n [/mm] hat für ein n, und somit die 0 der einzige Eigenwert ist.
> Mich würde aber trotzdem jetzt interessieren was du mit dem
> Nullvektor meinst, denn ich bin mir nicht sicher ob meine
> Argumentation zum zeigen reicht.
Nehmen wir an, Du hast eine nilpotente Matrix M mit dem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und dem Eigenvektor u.
Was ist dann M^nu?
Bedenke: [mm] M^n=M*M*...*M.
[/mm]
Da M n.V. nilpotent, gibt es ein k mit [mm] M^k=0.
[/mm]
Also ist 0=M^ku=.... was folgt hieraus?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 15.06.2008 | | Autor: | chipbit |
Na wenn für ein k, [mm] M^k=0 [/mm] gilt, dann ist [mm] M^k\cdot [/mm] u auch gleich 0 für eben dieses k...aber das hattest du ja schon geschrieben...aber wenn [mm] M^k [/mm] schon gleich 0 ist, muss ja u nicht gleich ein Nullvektor sein.
Tut mir echt Leid, aber irgendwie hab ich nen Brett vorm Kopf... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
|
|
|
| |
|
> Na wenn für ein k, [mm]M^k=0[/mm] gilt, dann ist [mm]M^k\cdot[/mm] u auch
> gleich 0 für eben dieses k...aber das hattest du ja schon
> geschrieben...aber wenn [mm]M^k[/mm] schon gleich 0 ist, muss ja u
> nicht gleich ein Nullvektor sein.
> Tut mir echt Leid, aber irgendwie hab ich nen Brett vorm
> Kopf...
Wie hast Du denn die Voraussetzung, daß u ein Eigenvektor von M sein soll, verarbeitet?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 So 15.06.2008 | | Autor: | chipbit |
öhm....gar nicht, zumindest nicht bewusst....aber normalerweise ist es doch das gleiche ob ich den Eigenvektor mit einem Skalar multipliziere oder mit der Matrix, hat das gleiche Ergebnis.... also [mm] M\cdot [/mm] u = [mm] \lambda \cdot [/mm] u
ach man, ich kann Mathe einfach nich ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
|
|
|
| |
|
> öhm....gar nicht, zumindest nicht bewusst....aber
> normalerweise ist es doch das gleiche ob ich den
> Eigenvektor mit einem Skalar multipliziere oder mit der
> Matrix, hat das gleiche Ergebnis.... also [mm]M\cdot[/mm] u =
> [mm]\lambda \cdot[/mm] u
Eben. So ist ja Eigenvektor definiert, mit dem kleinen Detail, daß [mm] u\not=0.
[/mm]
Wenn Du nun M^nu rechnest, ist das doch [mm] (M*...*M)*Mu=(M*...*M)*\lambda [/mm] u=lambda [mm] M^{n-1}u= \lambda^n [/mm] u.
Und wenn für ein k nun [mm] M^k=0 [/mm] ist, so hat man [mm] 0=\lambda^n [/mm] u.
Da u ein EV (also verschieden v. Nullvektor) ist, folgt hieraus etwas über den Eigenwert von M.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 So 15.06.2008 | | Autor: | chipbit |
ah..mensch..wie doof von mir...na dann muss daraus ja folgen das der Eigenwert 0 sein muss wenn es der Eigenvektor laut Def. nicht is... ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Danke für deine Geduld!
Dann brauch ich ja jetzt nur noch die iii) ...das muss ich mir aber grad nochma anschauen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Mo 16.06.2008 | | Autor: | chipbit |
Also, ich habe da jetzt mal drüber nachgedacht. Der Kommutator ist ja [A,B]:=AB-BA, dieser wäre ja gleich 0 wenn gelten würde dass A und B kommutieren, also AB=BA gelten würde. Mh...hier komm ich nicht weiter, also rein logisch wäre dann ja eben 1-[A,B] nicht 0 da ja 1-0=1 ...aber ich glaube nicht das es das ist was die wollen bzw. ich da die Aufgabe jetzt richtig verstanden habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mo 16.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Du sollst zeigen:
für keine natürliche Zahl n ist [mm] (1-[A,B])^n [/mm] = 0.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mo 16.06.2008 | | Autor: | chipbit |
Aha, aber kann ich da denn nicht ähnlich ansetzen? Das wäre ja, mit meinem vorherigen Kommentar zum Kommutator, dann [mm] 1^n [/mm] und das ist ja für keine natürliche Zahl n gleich 0
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du sollst doch zeigen, daß E-[AB] nicht nilpotent ist.
Ich würde mir nun Teil i) zunutze machen.
Dort wurde gezeigt: Matrix nilpotent ==> Spur=0.
Wenn es Dir gelingt nachzuweisen, daß die Spur v. E-[AB] nicht 0 ist, folgt ja, daß die Matrix nicht nilpotent ist.
Berechne die Spur von [AB] und subtrahiere sie dann von der Spur der Einheitsmatrix.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mo 16.06.2008 | | Autor: | chipbit |
mh, okay, das ist mir ja klar. Mein Problem ist jetzt....die Spur der Einheitsmatrix ist ja 1, nur wie komme ich weiter, ich weiß ja nur das A und B zwei Endomorphismen sein sollen, aber ja nicht genau wie die aussehen und es soll doch [A,B]:=AB-BA sein, kann ich jetzt einfach davon ausgehen dass A z.B. so aussieht [mm] A=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a } [/mm] und dementsprechend b? Dann hätte [A,B] die Spur 2ab-2ba....das hilft mir auch nicht weiter
Sorry wenn ich mich da jetzt blöd anstelle...
|
|
|
| |
|
> mh, okay, das ist mir ja klar. Mein Problem ist
> jetzt....die Spur der Einheitsmatrix ist ja 1, nur wie
> komme ich weiter, ich weiß ja nur das A und B zwei
> Endomorphismen sein sollen, aber ja nicht genau wie die
> aussehen und es soll doch [A,B]:=AB-BA sein, kann ich jetzt
> einfach davon ausgehen dass A z.B. so aussieht [mm]A=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }[/mm]
> und dementsprechend b?
Hallo,
mit welchem Recht wolltest Du das tun?
A und B sind einfach irgendwelche Endomorphismen bzw. ihre darstellenden Matrizen.
Du kannst doch Matrizen multiplizieren.(?)
Es ist doch für [mm] A:=(a_i_j) [/mm] und [mm] B:=(b_i_j) A*B=(c_i_j) [/mm] mit [mm] c_i_j:=\summe_{k=1}^{n}a_i_kb_k_j.
[/mm]
Wie lautet also das i-te Diagonalelement v. AB-BA?
Die Diagonalelemente kannst Du dann aufsummieren.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
