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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Sa 29.01.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe: Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum, f: [mm] V\toV [/mm] eine lineare Abbildung. Zeigen Sie: Gibt es zu jedem v Element V eine natürliche Zahl n, so dass [mm] f^{n}(v)=0, [/mm] so ist f nilpotent.
Ich weiß nicht wie ich da anfangen soll. Nilpotent heißt doch eine Matrix A zu f so dass [mm] A^{k}=0. [/mm] Ist dann nicht einfach n=k?
Gruß Marietta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Sa 29.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
das n ist doch von v abhängig, also: es gibt zu jedem v ein $ [mm] n_v [/mm] $ , so dass $ [mm] f^{(n_v )}(v)=0 [/mm] $
dann setzte doch mal $ n' := $ max($ [mm] n_v [/mm] $) vür alle v aus V
Hier muss man (vielleicht) aufpassen, dass man nicht über unendlich viele Vektoren das Maximum nimmt, also Suche dir eine Basis und dann musst du nur die [mm] n_v [/mm] der endlich vielen Basisvektoren betrachten (WARUM?)
hoffe, ich hab mich verständlich ausgedrückt.
viele grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Sa 29.01.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich glaube ich verstehe das noch nicht so ganz. Ich weiß doch gar nicht wie f aussieht. Wie soll ich da meine Basis wählen und woher weiß ich was n ist?
Gruß Marietta
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Grüße!
Also, ich versuche mal, die Aufgabenstellung so zu formulieren, wie ich sie verstanden habe und Du korrigierst mich notfalls, ja?
Gegeben ist eine lineare Abbildung $f: V [mm] \to [/mm] V$ eines Vektorraums in sich. Außerdem weißt Du, dass es zu jedem $v [mm] \in [/mm] V$ eine natürliche Zahl [mm] $n_v \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $f^{n_v}(v) [/mm] = 0$. Und Du sollst zeigen, dass $f$ nilpotent ist, das heißt, Du sollst zeigen, dass es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $f^n [/mm] = 0$.
Das ist nicht selbstverständlich! Wie DaMenge schon anmerkte: nur weil es für jedes einzelne $v$ eine solche Zahl gibt, heißt das erstmal noch nicht, dass es eine "globale" Zahl gibt, die das tut. Im Allgemeinen stimmt das auch nicht!
Beispiel: Ist $V$ der Vektorraum der Polynome über [mm] $\IR$ [/mm] und die lineare Abbildung die gewöhnliche Ableitung, dann gibt es zwar für jedes Polynom eine Zahl $n$, so dass die $n$-te Ableitung gleich 0 ist, aber das Ableiten wird nie zur Nullabbildung!
Die Rettung ist, dass das $V$ aus Deiner Aufgabe endlich-dimensional ist.
Dann kannst Du nämlich eine endliche Basis wählen und Du weißt, dass es für jeden Basisvektor eine solche Zahl gibt - jetzt mußt Du nur noch beweisen, dass für die größte davon das Geforderte gilt.
Ich hoffe, ich habe Dich nicht noch mehr verwirrt...
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 30.01.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Danke schon mal für die Antwort.
Also: Da V endlich-dimensional wähle ich eine Basis B: {b1,b2,...,bn}.
Nehme die kanonische Basis, weil die Bilder der Basis ja in der Matrix A stehen für die ich das n Suche, so dass [mm] A^{n}=0 [/mm] (nilpotent). Für jedes b aus der Basis gibt es ein n so dass [mm] f^{n}*b= [/mm] 0, d.h. [mm] A^{n}*b=0. [/mm] Ich verstehe, dass das größte n gleich dem gesuchten n ist, da ja dann die Matriz zur Nullmatrix wird, aber wie kann ich zeigen, welches das größte n ist.
Gruß Marietta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Mo 31.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Ich verstehe, dass
> das größte n gleich dem gesuchten n ist, da ja dann die
> Matriz zur Nullmatrix wird,
also wenn überhaupt wird dann [mm] A^n [/mm] zur Nullmatrix, abe rich denke, dies meintest du.
> aber wie kann ich zeigen,
> welches das größte n ist.
du musst nicht sagen, welches das größte ist (das kann man natürlich vorher im allgemeinen nicht) du musst vielmehr zeigen, dass es ein Größtes gibt. und von endlich vielen natürlichen Zahlen muss (mind.) eine die Größte sein. und dieses spezielle n' erfüllt dann $ [mm] A^{n'}=0 [/mm] $
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Stimmt, man muss das ja gar nicht angeben. Dann war die Aufgabe ja gar nicht so schwer. Irgendwie denke ich immer zu kompliziert.
Danke für die Hilfe.
Gruß Marietta
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