nichttriviale Lösung vom LGS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Fr 18.03.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
ich bräuchte Verständnis-Hilfe bei folgender Aufgabe:
[mm] \pmat{0 & 1 & a \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
1) Für welche a hat das System nicht triviale Lösungen?
2) Berechnen Sie die Menge alle Lösungen von a!
normalerweise hätte ich Zeile 1 mit 3 vertauscht und
dann die negierte Zeile1 auf die 3 addiert aber dann
kriege ich ja (a-1) =0 und das ist meiner meinung
nach trivial...
oder kann ich einfach [mm] (a-1)*x_{3}=0 [/mm] gleich [mm] \lambda [/mm] setzen
und habe damit dann eine unendliche Menge von nicht
trivialen Lösungen? (wenn ich dann auflöse natürlich)
mir fehlt der Ansatz...
MfG kruder77
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> Hallo,
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> ich bräuchte Verständnis-Hilfe bei folgender Aufgabe:
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> [mm]\pmat{0 & 1 & a \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
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> > 1) Für welche a hat das System nicht triviale Lösungen?
> 2) Berechnen Sie die Menge alle Lösungen von a!
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> normalerweise hätte ich Zeile 1 mit 3 vertauscht und
> dann die negierte Zeile1 auf die 3 addiert aber dann
> kriege ich ja (a-1) =0 und das ist meiner meinung
> nach trivial...
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> oder kann ich einfach [mm](a-1)*x_{3}=0[/mm] gleich [mm]\lambda[/mm] setzen
> und habe damit dann eine unendliche Menge von nicht
> trivialen Lösungen? (wenn ich dann auflöse natürlich)
>
> mir fehlt der Ansatz...
>
> MfG kruder77
>
Hallo.
Deine Ansätze klingen doch schon recht vernünftig.
Nehmen wir doch einfach mal an, a sei ungleich 1.
Dann folgt aus der 1. minus der 3. Zeile: [mm] $(a-1)x_3=0 \Rightarrow x_3=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x_2=0 \Rightarrow x_1=0$, [/mm] das heißt also dann follgt die triviale Lösung, wie Du ja bereits angedeutet hast.
Wenn jetzt a=1 ist, sind die 1. und die 3. Zeile identisch, und wenn Du, sagen wir, [mm] $Z_3-Z_1$ [/mm] rechnest, dann hast Du da 0=0 stehen, das heißt, Du kannst [mm] $x_2$ [/mm] oder [mm] $x_3$ [/mm] frei wählen.
Sagen wir für b) einfach [mm] $x_3=r$, [/mm] dann kannst Du ganz normal weiter auflösen und alle Lösungen für [mm] $a\not=1$ [/mm] bestimmen.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Fr 18.03.2005 | | Autor: | kruder77 |
Mensch, im nachhinein schaut immer alles so einfach aus *seufz*
also gehe ich recht in der annahme, dass es drei Fälle gibt ?
Fall1: a [mm] \{0\} [/mm] --> die trivialen Lösungen x=0; y=0; w=0
Fall2: a [mm] \{1\} [/mm] --> die nicht triviale Lösung x=z; y=-z; w=-3z/2
Fall3: [mm] -\infty
mfg kruder77
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Sa 19.03.2005 | | Autor: | taura |
Das stimmt nicht ganz. Warum sollte denn das LGS nicht lösbar sein, wenn a zum Beispiel 2 wäre? Rechne das mal durch, dann wirst du sehen, dass es auch dann eine Lösung gibt. Außerdem betrachtest du nicht alle Fälle: was ist mit 0 < a < 1? (Ich gehe davon, dass dein a aus [mm]\IR[/mm] stammt).
Aber genau genommen reicht es, nur zwei Fälle zu betrachten: a=1 und [mm]a\not=1[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Sa 19.03.2005 | | Autor: | kruder77 |
Stimmt, da hast Du völlig Recht!
Wenn a ungleich 1 ist werden alle Lösungen trivial
und wenn es gleich 1 ist wird die Lösung nicht trivial.
Mein Fehler war, das ich im Hinterkopf folgenden
Fall hatte:
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0}= \pmat{ 0 \\ 0 \\ 13}
[/mm]
nur wenn ich eine nullzeile habe und die zugehörige lösungsvektorzeile
ungleich null ist, ist es laut cramer nicht lösbar...
- [mm] 0*x_{3} [/mm] kann ja nicht gleich 13 sein, gell...
(muss ich mir merken...)
vielen dank nochmal  für die hilfe
kruder77
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