nichtkommutative gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 04:03 Do 02.11.2006 | | Autor: | toggit |
| Aufgabe | für [mm] a,b,c,d\in \IR [/mm] definiert man die abbildung
[mm] f_{a,b,c,d}:\IR \times \IR \to \IR \times \IR,(x,y)\mapsto(ax+by,cx+dy)
[/mm]
sei dann G={ [mm] f_{a,b,c,d}| a,b,c,d\in \IR, ad-bc\not=0 [/mm] }
a)
prüfen sie nach, dass [mm] (G;\circ) [/mm] eine nicht-kommutative gruppe ist, wobei [mm] f_{1,0,0,1} [/mm] neutrales element ist, und jedes [mm] f_{a,b,c,d}\inG [/mm] die inverse
[mm] {f^{-1}}_{a,b,c,d}=f_{a',b',c',d'} [/mm] hat, mit
[mm] a'=\bruch{d}{ad-bc}, b'=\bruch{-b}{ad-bc}, c'=\bruch{-c}{ad-bc}, d'=\bruch{a}{ad-bc}.
[/mm]
b)
berechnen sie [mm] f_{2,1,1,1}\circ f_{1,0,1,1},{f^-1}_{2,1,1,1} [/mm] und [mm] f_{2,1,1,1}\circ f_{1,0,1,1}\circ {f^-1}_{2,1,1,1}
[/mm]
c)
definiert man
[mm] H_{1}={f_{a,b,c,d}\in G|a,b,c,d \in \IR, und: ad-bc=1}
[/mm]
und
[mm] H_{2}={f_{a,b,c,d}\in G|a,b,c,d \in \IZ, und: ad-bc=1}.
[/mm]
zeigen sie, dass [mm] H_{1}\subseteq [/mm] G eine untergruppe von G ist, und dass [mm] H_{2}\subseteq H_{1} [/mm] eine untergruppe von [mm] H_{1} [/mm] ist. |
erstmal hallo
und nun zu diese aufgabe,
weiß nicht welche Verknüpfung hier gemeint ist!!!
und zu a) teil muss ich denn nur assoziativgesetz beweisen und auf kommutativität prüfen oder lege ich da falsch?
zur b) wenn ich die verknüpfung nicht kenne weiss ich denn auch nicht wie ich dass berechnen soll
zur c)
reicht hier dass ad-bc=1 untergruppe von [mm] ad-bc\not=0 [/mm] ist und [mm] \IZ [/mm] in [mm] \IR [/mm] enthalten ist?
bitte um schnelle hilfe, muss das schon morgen abgeben
danke mfg tom
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Hallo und guten Morgen,
> für [mm]a,b,c,d\in \IR[/mm] definiert man die abbildung
> [mm]f_{a,b,c,d}:\IR \times \IR \to \IR \times \IR,(x,y)\mapsto(ax+by,cx+dy)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> sei dann G={ [mm]f_{a,b,c,d}| a,b,c,d\in \IR, ad-bc\not=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> a)
> prüfen sie nach, dass [mm](G;\circ)[/mm] eine nicht-kommutative
> gruppe ist, wobei [mm]f_{1,0,0,1}[/mm] neutrales element ist, und
> jedes [mm]f_{a,b,c,d}\inG[/mm] die inverse
> [mm]{f^{-1}}_{a,b,c,d}=f_{a',b',c',d'}[/mm] hat, mit
> [mm]a'=\bruch{d}{ad-bc}, b'=\bruch{-b}{ad-bc}, c'=\bruch{-c}{ad-bc}, d'=\bruch{a}{ad-bc}.[/mm]
>
Die Verknüpfung ist die Hintereinanderschaltung (Komposition) von Funktionen:
[mm] f\circ [/mm] g (x)=f(g(x))
Zu zeigen ist nur, dass diese Menge abgeschlossen unter Komposition und Inversenbildung ist und dass sie
die Identität enthält, da allgemein schon die Menge aller bij. Abb. einer Menge X in sich eine Gruppe mit der Komposition als Gruppenoperation ist.
Zur Nichtkommutativität musst Du halt zwei Funktionen f,g aus G angeben, so dass [mm] f\circ [/mm] g [mm] \neq g\circ [/mm] f gilt.
Hilft das für den Anfang schon mal weiter ?
Gruss,
Mathias
> b)
> berechnen sie [mm]f_{2,1,1,1}\circ f_{1,0,1,1},{f^-1}_{2,1,1,1}[/mm]
> und [mm]f_{2,1,1,1}\circ f_{1,0,1,1}\circ {f^-1}_{2,1,1,1}[/mm]
>
> c)
> definiert man
> [mm]H_{1}={f_{a,b,c,d}\in G|a,b,c,d \in \IR, und: ad-bc=1}[/mm]
>
> und
> [mm]H_{2}={f_{a,b,c,d}\in G|a,b,c,d \in \IZ, und: ad-bc=1}.[/mm]
>
> zeigen sie, dass [mm]H_{1}\subseteq[/mm] G eine untergruppe von G
> ist, und dass [mm]H_{2}\subseteq H_{1}[/mm] eine untergruppe von
> [mm]H_{1}[/mm] ist.
> erstmal hallo
> und nun zu diese aufgabe,
> weiß nicht welche Verknüpfung hier gemeint ist!!!
>
> und zu a) teil muss ich denn nur assoziativgesetz beweisen
> und auf kommutativität prüfen oder lege ich da falsch?
>
> zur b) wenn ich die verknüpfung nicht kenne weiss ich denn
> auch nicht wie ich dass berechnen soll
>
> zur c)
> reicht hier dass ad-bc=1 untergruppe von [mm]ad-bc\not=0[/mm] ist
> und [mm]\IZ[/mm] in [mm]\IR[/mm] enthalten ist?
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> bitte um schnelle hilfe, muss das schon morgen abgeben
> danke mfg tom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:05 Sa 04.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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