nicht trivialer Homomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Do 02.11.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Zeige:
(1) [mm] sign(\sigma) [/mm] = [mm] \produkt_{i
wobei [mm] S_{n} [/mm] die n-te symm. Gruppe ist mit [mm] S_{n} [/mm] = S({1 ... n}).
(2) Es gibt genau einen nicht trivialen (d.h. dessen bild nicht nur das neutrale Element enthält) Homomorphismus [mm] S_{n} \to {\pm1} [/mm] = [mm] \IZ^{\times}. [/mm] |
hallo!
ich habe folgende fragen zu den aufgaben.
(1) kann man die (1) mithilfe von induktion lösen? wenn ja, wie fängt man da an? soll ich da beim induktionsschritt i=0 setzen? wie setze ich dann den induktionsschritt?
(2) es tut mir leid, aber der bei der (2) weiß nicht, wie ich das zeigen soll. könnt ihr mit bitte da weiterhelfen?
vielen dank für eure hilfe!
VHN
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 So 05.11.2006 | | Autor: | VHN |
hallo!
ich habe wie folgt versucht, die aufgabe zu lösen.
(1) Induktion über n:
I-anfang: n=1:
j=1: [mm] sign(\sigma_{0}) [/mm] = [mm] \produkt_{j=1,i
I-voraussetzung [mm] sign(\sigma_{n}) [/mm] wie gegeben in angabe.
I-Schritt: n->n+1:
sign [mm] (\sigma_{n+1} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1,i
nach IV [mm] \Rightarrow [/mm] = [mm] \produkt_{j=1,i
stimmt das soweit? hier weiß ich nicht richtig weiter, wie ich den schluss daraus ziehen kann.
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. vielen dank.
zu der (2) weiß ich nicht genau, wie ich das zeigen soll.
der triviale homomorphismus ist hier wohl die sign-funktion.
nicht trivial heißt doch, dass das bild nicht nur das neutrale element enthält, also die 1, oder?
aber was ist das für eine funktion?
bitte helft mir weiter. vielen dank.
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 So 05.11.2006 | | Autor: | VHN |
hallo!
ich habe wie folgt versucht, die aufgabe zu lösen.
(1) Induktion über n:
I-anfang: n=1:
j=1: [mm] sign(\sigma_{0}) [/mm] = [mm] \produkt_{j=1,i
I-voraussetzung [mm] sign(\sigma_{n}) [/mm] wie gegeben in angabe.
I-Schritt: n->n+1:
sign [mm] (\sigma_{n+1}) [/mm] = [mm] \produkt_{j=1,i
nach IV [mm] \Rightarrow [/mm] = [mm] \produkt_{j=1,i
stimmt das soweit? hier weiß ich nicht richtig weiter, wie ich den schluss daraus ziehen kann.
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. vielen dank.
zu der (2) weiß ich nicht genau, wie ich das zeigen soll.
der triviale homomorphismus ist hier wohl die sign-funktion.
nicht trivial heißt doch, dass das bild nicht nur das neutrale element enthält, also die 1, oder?
aber was ist das für eine funktion?
bitte helft mir weiter. vielen dank.
VHN
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Einfacher:
Stelle dir vor, du hättest das Produkt ausgeschrieben. Dann stehen in den Nennern die Differenzen aller möglichen Zahlenpaare, wobei die 2. Zahl immer kleiner als die erste ist, also (2-1)(3-1)(3-2)(4-1)...(n-1)(n-2)...(n-(n-1)).
Da Sigma aber die Zahlen nur untereinander tauscht, tauchen in den Zählern auch alle möglichen Paare genau einmal als Differenz auf, nur in anderer Reihenfolge, wobei nicht gesichert ist, dass die kleinere von der größeren Zahl subtrahiert wird. Deshalb kann man jeden Nenner gegen den (an anderer Stelle und evtl. mit vertauschtem Vorzeichen versehenen)betragsmäßig gleichen Zähler weggkürzen, so dass das Produkt zuletzt 1 oder - 1 gibt.
Im 2. Teil sollst du zeigen, dass dies der gesuchte Hom. ist und es insbesondere keinen anderen nichttrivialen gibt.
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