nicht endlicher vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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wie kann ich denn nachweisen, dass folgender vektorraum nicht endlich erzeugt ist?
sei V der [mm] \IR [/mm] vektorraum
V:= { [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] | [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] , [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] x_{n} [/mm] = 0}
des heißt doch, dass ab einem gewissen N alle glieder null sind,oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mo 20.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
angenommen, du hättest ein festes N gegeben, so dass für alle Folgen in dem Raum gelten würde, dass [mm] $x_{n}=0$ [/mm] für alle n>N
Wie groß wäre dann die Dimension dieses Raumes ?
So, hier ist aber kein festes maximales N gegeben für alle Folgen, sodern nur gefordert, dass bei jeder Folge ein solches N existiert
(also nicht ein N für alle folgen, sondern für jede Folge (jeweils) ein N)
angenommen, der Raum hätte nun die endliche Dimension N'
Nach der Überlegung von oben - kannst du dann eine Folge finden, die nicht erzeugt werden kann?
(damit hättest du einen Widerspruch)
viele Grüße
DaMenge
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sorry tut mir leid, aber des hab ich jetzt net wirklich verstanden.
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> angenommen, du hättest ein festes N gegeben, so dass für
> alle Folgen in dem Raum gelten würde, dass [mm]x_{n}=0[/mm] für alle
> n>N
> Wie groß wäre dann die Dimension dieses Raumes ?
die dimension ist 0 oder?
>
> So, hier ist aber kein festes maximales N gegeben für alle
> Folgen, sodern nur gefordert, dass bei jeder Folge ein
> solches N existiert
> (also nicht ein N für alle folgen, sondern für jede Folge
> (jeweils) ein N)
>
> angenommen, der Raum hätte nun die endliche Dimension N'
> Nach der Überlegung von oben - kannst du dann eine Folge
> finden, die nicht erzeugt werden kann?
> (damit hättest du einen Widerspruch)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mo 20.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> die dimension ist 0 oder?
>
leider nein.
angenommen du hast eine beliebige Folge, zum beispiel diese :
1 3 5 17 4 23 0 8 624 7 0 0 0 .. (nur noch nullen nach dem 10ten eintrag)
eine weitere solcher folge wäre:
8 9 4 76 567 8 4 9 0 5 0 0 0 ...
die sehen doch jetzt schon so aus wie Vektoren, oder ?
(nur eben liegend statt stehend und ganz doll viele Nullen folgen noch)
mit welcher Basis könnte man alle solche Folgen beschreiben?
(also jede Folge als Linearkombination über [mm] $\IR$ [/mm] mit den Basisvektoren beschreiben)
wie groß ist also die Dimension der Folgen, die ab dem elften eintrag immer eine 0 haben ?
viele Grüße
DaMenge
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also du nullvektoren kann man ja immer darstellen mit jeder basis, oder?
also musste der raum dann 10 basen haben also basis N, wenn danach alle anderen >N null sind
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> also du nullvektoren kann man ja immer darstellen mit jeder
> basis, oder?
> also musste der raum dann 10 basen haben also basis N,
> wenn danach alle anderen >N null sind
Hallo,
ich glaube, Du MEINST das Richtige:
Die Basis müßte aus 10 Elementen bestehen, also dim = 10, oder, im allgemeinen Fall, dim V=n.
Zur Aufgabe: nimm also an, Du hättest es Basis aus endlich vielen solchen Folgen. Ab irgendeinem M sind die alle =0. Aber in V liegt ja auch die Folge ???
Gruß v. Angela
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