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Hi, wir hatten die Definition von noethersch. Die versteh ich ja und ich finde locker auch ein Beispiel dazu. Schwieriger wird es, mir einen NICHT-noetherschen Ring vorzustellen. Könnte mir jemand ein möglichst einfaches Beispiel nennen?
Wären sehr nett. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Di 27.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Schokonascher,
> Hi, wir hatten die Definition von noethersch. Die versteh
> ich ja und ich finde locker auch ein Beispiel dazu.
> Schwieriger wird es, mir einen NICHT-noetherschen Ring
> vorzustellen. Könnte mir jemand ein möglichst einfaches
> Beispiel nennen?
also das meiner Meinung nach einfachste (ist ja immer Geschmackssache :) ) Beispiel ist folgendes:
du nimmst irgendeinen Ring $R$ (etwa [mm] $\IZ$ [/mm] oder [mm] $\IQ$ [/mm] oder [mm] $\IC$, [/mm] was dir halt am besten gefaellt) und eine unendliche Menge von Unbestimmten ueber $R$, etwa [mm] $x_n$, [/mm] $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dann betrachtest du den Ring $S := [mm] R[x_n \mid [/mm] n [mm] \in \IN]$, [/mm] also den Polynomring in unendlich vielen Unbestimmten.
Wenn du nicht weisst wie der aussieht: die Elemente sind jeweils $R$-Linearkombinationen von Monomen (so wie immer), nur das die Monome jeweils nur endlich viele Unbestimmte enthalten. Sprich, in jedem (konkreten) Polynom aus $S$ tauchen nur endlich viele verschiedene Unbestimmte auf.
In $S$ kannst du jetzt die Ideale [mm] $\mathfrak{a}_n [/mm] := [mm] (x_1, \dots, x_n)$ [/mm] betrachten, $n [mm] \in \IN$. [/mm] Das Ideal [mm] $\mathfrak{a}_n$ [/mm] besteht aus genau den Polynomen, in dem jedes Monom mindestens eine der Unbestimmten [mm] $x_1, \dots, x_n$ [/mm] enthaelt.
Insbesondere gilt [mm] $\mathfrak{a}_n \subsetneqq \mathfrak{a}_{n+1}$ [/mm] fuer jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] du hast also eine unendliche aufsteigende Kette von Idealen.
Und falls $R$ ein Integritaetsring ist, so sind die Ideale [mm] $\mathfrak{a}_n$ [/mm] auch noch alle Primideale, du hast also ein Beispiel fuer einen Ring mit unendlicher Krulldimension (falls dir das schon was sagt; wenn nicht, vielleicht erinnerst du dich an dieses Beispiel wenn du die Krulldimension irgendwann mal kennenlernst :) ).
LG Felix
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Danke! das leuchtet ein. Krulldimension sagt mir noch nichts, aber das kommt bestimmt.
Merci für deine Hilfe!
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