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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 So 08.02.2015 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Gegeben sei die Fkt. [mm] f:\IR^3\rightarrow \IR^3,
[/mm]
[mm] \vektor{y_1 \\ y_2\\y_2}\rightarrow \vektor{-y^2_3+2y_1+y_2+4y_3-7 \\ y_3^3-y_1^2-4y_1-y_2-7y_3+12\\-y_3^3+2y_1+4y_2+8y_3-14}
[/mm]
Zur Berechnung einer Nullstelle von f wird das gewöhnliche Newton-VErfahren mit Startwert [mm] x_0=(0,0,0)^T [/mm] verwendet. Führe mit Hilfe der LR_Zerlegung von [mm] f'(x_0) [/mm] die erste Iteration des Newton Verfahren durch. |
Hallo,
ich habe es nicht mit der LR_zerlegung gemacht sondern bin folgend an die aufgabe herangegangen:
Newtonverfahren ist [mm] x_{n+1}=x_n-(f'(x_n))^{-1}\cdot f(x_n).
[/mm]
für n=0:
[mm] x_1=x_0-(f'(x_0))^{-1}\cdot f(x_n)
[/mm]
Sei f= [mm] \vektor{-y^2_3+2y_1+y_2+4y_3-7 \\ y_3^3-y_1^2-4y_1-y_2-7y_3+12\\-y_3^3+2y_1+4y_2+8y_3-14}
[/mm]
mit [mm] f_1=-y^2_3+2y_1+y_2+4y_3-7 [/mm]
[mm] f_2= y_3^3-y_1^2-4y_1-y_2-7y_3+12
[/mm]
[mm] f_3=-y_3^3+2y_1+4y_2+8y_3-14 [/mm]
dann ist [mm] Df(y_1,y_2,y_3)=\pmat{ \bruch{\partial{f_1}}{y_1} & \bruch{\partial{f_1}}{y_}&\bruch{\partial{f_1}}{y_3}\\ \bruch{\partial{f_2}}{y_1} & \bruch{\partial{f_2}}{y_1}&\bruch{\partial{f_2}}{y_3}\\\bruch{\partial{f_3}}{y_1}&\bruch{\partial{f_3}}{y_2}&\bruch{\partial{f_3}}{y_3} }=\pmat{ 2 & 1&-2y_3+4 \\ -2y_1-4 & -1&3y_3^2-7\\2 & 4 & -3y_3^2+8 } \Rightarrow Df(x_0)=\pmat{ 2 & 1& 4 \\ -4 & -1&-7\\2 & 4 & 8 }
[/mm]
und [mm] f(x_0)=\vektor{ -7\\ 12\\-14} [/mm] und sei [mm] x_1=\vektor{v_1 \\ v_2\\v_3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{v_1 \\ v_2\\v_3}=-\pmat{ 2 & 1& 4 \\ -4 & -1&-7\\2 & 4 & 8 }^{-1}\cdot \vektor{ -7\\ 12\\-14} \Rightarrow \pmat{ 2 & 1& 4 \\ -4 & -1&-7\\2 & 4 & 8 }\cdot \vektor{v_1 \\ v_2\\v_3}= \vektor{ -7\\ 12\\-14}
[/mm]
Löse dieses mit LGS und erhalte dann für [mm] x_1=\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
Ist es richtig was ich da gemacht habe? wie würde es mit LR-ZErlegung funktionieren?
dankeschön im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:40 Mo 09.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo knowhow!
> Gegeben sei die Fkt. [mm]f:\IR^3\rightarrow \IR^3,[/mm]
>
> [mm]\vektor{y_1 \\ y_2\\y_2}\rightarrow \vektor{-y^2_3+2y_1+y_2+4y_3-7 \\ y_3^3-y_1^2-4y_1-y_2-7y_3+12\\-y_3^3+2y_1+4y_2+8y_3-14}[/mm]
>
> Zur Berechnung einer Nullstelle von f wird das gewöhnliche
> Newton-VErfahren mit Startwert [mm]x_0=(0,0,0)^T[/mm] verwendet.
> Führe mit Hilfe der LR_Zerlegung von [mm]f'(x_0)[/mm] die erste
> Iteration des Newton Verfahren durch.
> Hallo,
>
> ich habe es nicht mit der LR_zerlegung gemacht sondern bin
> folgend an die aufgabe herangegangen:
>
> Newtonverfahren ist [mm]x_{n+1}=x_n-(f'(x_n))^{-1}\cdot f(x_n).[/mm]
>
> für n=0:
> [mm]x_1=x_0-(f'(x_0))^{-1}\cdot f(x_n)[/mm]
>
> Sei f= [mm]\vektor{-y^2_3+2y_1+y_2+4y_3-7 \\ y_3^3-y_1^2-4y_1-y_2-7y_3+12\\-y_3^3+2y_1+4y_2+8y_3-14}[/mm]
>
> mit [mm]f_1\red{:}=-y^2_3+2y_1+y_2+4y_3-7[/mm]
> [mm]f_2\red{:}= y_3^3-y_1^2-4y_1-y_2-7y_3+12[/mm]
>
> [mm]f_3\red{:}=-y_3^3+2y_1+4y_2+8y_3-14[/mm]
Beachte: Korrektur mit roter Farbe!
> dann ist [mm]Df(y_1,y_2,y_3)=\pmat{ \bruch{\partial{f_1}}{y_1} & \bruch{\partial{f_1}}{y_}&\bruch{\partial{f_1}}{y_3}\\ \bruch{\partial{f_2}}{y_1} & \bruch{\partial{f_2}}{y_1}&\bruch{\partial{f_2}}{y_3}\\\bruch{\partial{f_3}}{y_1}&\bruch{\partial{f_3}}{y_2}&\bruch{\partial{f_3}}{y_3} }=\pmat{ 2 & 1&-2y_3+4 \\ -2y_1-4 & -1&3y_3^2-7\\2 & 4 & -3y_3^2+8 } \Rightarrow Df(x_0)=\pmat{ 2 & 1& 4 \\ -4 & -1&-7\\2 & 4 & 8 }[/mm]
Am Anfang meinst du
[mm] Df(y_1,y_2,y_3)=\pmat{ \bruch{\partial{f_1}}{\partial{y_1}} & \bruch{\partial{f_1}}{\partial{y_2}}&\bruch{\partial{f_1}}{\partial{y_3}}\\ \bruch{\partial{f_2}}{\partial{y_1}} & \bruch{\partial{f_2}}{\partial{y_2}}&\bruch{\partial{f_2}}{\partial{y_3}}\\\bruch{\partial{f_3}}{\partial{y_1}}&\bruch{\partial{f_3}}{\partial{y_2}}&\bruch{\partial{f_3}}{\partial{y_3}} },
[/mm]
ansonsten ist das richtig.
> und [mm]f(x_0)=\vektor{ -7\\ 12\\-14}[/mm] und sei [mm]x_1=\vektor{v_1 \\ v_2\\v_3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{v_1 \\ v_2\\v_3}=-\pmat{ 2 & 1& 4 \\ -4 & -1&-7\\2 & 4 & 8 }^{-1}\cdot \vektor{ -7\\ 12\\-14} \Rightarrow \pmat{ 2 & 1& 4 \\ -4 & -1&-7\\2 & 4 & 8 }\cdot \vektor{v_1 \\ v_2\\v_3}= \vektor{ -7\\ 12\\-14}[/mm]
Falsch. Du musst erst [mm] $Df\$ [/mm] invertieren und dann [mm] x_0 [/mm] einsetzen.
> Löse dieses mit LGS und erhalte dann für
> [mm]x_1=\vektor{1\\1\\1}[/mm]
Das habe ich nicht nachgerechnet.
> wie würde es mit LR-ZErlegung funktionieren?
Wenn du eine LR-Zerlegung von [mm] $Df\$ [/mm] hast, dann ist es doch einfach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Mo 09.02.2015 | | Autor: | knowhow |
warum ist es falsch wenn ich zuerst einsetzte und dann invertiere? in dem sinne habe ich die matrix nur auf die andere seite gebracht, da doch gilt
[mm] x_1=-(f(x_0)')^{-1}\cdot f(x_0) \Rightarrow -f(x_n)'\cdot x_1= f(x_0), [/mm] oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Mo 09.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> warum ist es falsch wenn ich zuerst einsetzte und dann invertiere?
Du kannst auch nicht erst einsetzen und dann ableiten.
> in dem sinne habe ich die matrix nur auf die andere seite gebracht, da doch gilt
> [mm]x_1=-(f(x_0)')^{-1}\cdot f(x_0) \Rightarrow -f(x_n)'\cdot x_1= f(x_0),[/mm]
> oder nicht?
Nein. Man kann folgendes machen:
[mm] Df(x_n)\delta_n=f(x_n)\quad\Rightarrow\quad x_{n+1}=x_n+\delta_n.
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:55 Mo 09.02.2015 | | Autor: | knowhow |
danke für deine hilfe, aber kommt da nicht dasselber ergebnis heraus?
dass was bei mir [mm] x_1 [/mm] war ist dann [mm] \delta_n, [/mm] aber wenn ich es dann in deine formel einsetze ist dann [mm] x_1=\delta_n.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mi 11.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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