n! in Primfaktoren < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Mikke |
Hallo, ich habe eine Frage wo ih nicht weiterkomme, und zwar haben wir als Folgerung angegeben, dass wenn [mm] p_{1}
t Primzahlen sind und n! für jede natürliche Zahl n! = [mm] (p_{1})^{e_{1}}*(p_{2})^{e_{2}}* [/mm] ... [mm] *(p_{t})^{e_{t}} [/mm] mit [mm] e_{t}>0, [/mm] dann ist [mm] e_{1}>=e_{2}>=...>=e_{t}.
[/mm]
Nun habe ich bereits gezeigt, das [mm] e_{t} [/mm] = 1, falls n>=2.
Aber wie kann ich jetzt noch alle Zahlen n>=3 bestimmen mit [mm] e_{t-1}>1 [/mm] .
Bei diesem letzen weiß ich nicht wie ich das machen soll und hoffe ihr könnt mir helfen
MfG Arnbert
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Arnbert,
irgendwas ist da komisch in der Aufgabenstellung; denn diese Primfaktorzerlegung gilt natürlich nur für $p_t\le n < p_{t+1}$.
Du kannst aber sicher die $e_i, i=1, \ldots, t$ maximal annehmen:
$p_i^e_i\le n! <p_i^e_{i+1$.
Nun betrachte mal diese Ungleichung für zwei aufeinanderfolgende Primzahlen; wahrscheinlich ists am einfachsten zu zeigen, daß $e_k<e_{k+1}$ nicht möglich ist ($1 \le k <t$).
Gruß
zahlenspieler
P.S. Es gibt eine hübsche Formel, mit der man den Exponenten einer gegebenen Primzahl in der PFZ von n! bestimmen kann; aber die sollst Du wohl nicht verwenden :-(?
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