n_{0} Bestimmung einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie zu den angegebenen Folgen [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und den Werten a und [mm] \varepsilon [/mm] jeweils ein [mm] n_{0}\in\IN [/mm] , so dass die folgende Bedingung des Grenzwertes der Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] erfüllt ist:
[mm] \forall n\ge n_{0} [/mm] : [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon
[/mm]
a) [mm] (a_{n})_{n\in\IN}=(\bruch{2n^{2}+4n+1}{n^{2}})_{n\in\IN}; [/mm] a=2 ; [mm] \varepsilon=0,1
[/mm]
b) [mm] (a_{n})_{n\in\IN}=(\bruch{\wurzel{n+1}}{n+2})_{n\in\IN}; [/mm] a=0 ; [mm] \varepsilon=\bruch{1}{6} [/mm] |
Hi,
habe die Aufgaben soweit lösen können...vielleicht kann ja jemand drüber gucken, ob Ich soweit richtig gerechnet habe.
a) [mm] |\bruch{2n^{2}+4n+1}{n^{2}}-2|<0,1
[/mm]
[mm] \Rightarrow |\bruch{2n^{2}+4n+1}{n^{2}}-\bruch{2n^{2}}{n^{2}}|<0,1
[/mm]
[mm] \Rightarrow |\bruch{4n+1}{n^{2}}|<0,1 [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{|4n+1|}{|n^{2}|}<0,1 [/mm] da [mm] n^{2}\ge0 \Rightarrow |n^{2}|=n^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |4n+1|<0,1\*n^{2} [/mm] da |4n+1|=4n+1 für [mm] n\in\IN [/mm]
[mm] \Rightarrow 4n+1<0,1n^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0
Jetzt meine Frage: Kann Ich diese Ungleichung nun exakt lösen, wie etwa eine Gleichung, wo Ich nun im letzten Schritt einfach die p-q-Formel anwenden würde?
Oder genügt es, wenn Ich nun einfach willkürlich (ohne Begründung) ein [mm] n_{o} [/mm] auswähle - hier würde Ich dann [mm] n_{0}=41 [/mm] auswählen.
Bei der b) verhält es sich ähnlich, da habe Ich im letzten Schritt die Ungleichung:
[mm] 0
Auch dort würde Ich nun aus logischen Gründen [mm] n_{0}=33 [/mm] theoretisch ja willkürlich auswählen...doch warum muss Ich denn dann vorher diese ganzen Rechnungen machen - könnte Ich nicht theoretisch bereits im ersten Schritt mithilfe des Taschenrechners ein genügend großes [mm] n_{0} [/mm] auswählen, für das diese Ungleichung erfüllt ist?
Danke schonmal für die Hilfe
Gruß Benny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo RWB-Lucio!
> [mm]\Rightarrow 0
Das muss aber $0 \ < \ n*(n-40)- \ [mm] \red{40}$ [/mm] heißen.
> Jetzt meine Frage: Kann Ich diese Ungleichung nun exakt
> lösen, wie etwa eine Gleichung, wo Ich nun im letzten
> Schritt einfach die p-q-Formel anwenden würde?
> Oder genügt es, wenn Ich nun einfach willkürlich (ohne
> Begründung) ein [mm]n_{o}[/mm] auswähle - hier würde Ich dann [mm]n_{0}=41[/mm] auswählen.
Meines Erachtens gehen hier beide Varianten, da auch offensichtlich ist, dass Dein gewählter Wert wirklich der kleinstmögliche ist.
Andererseits besteht hier wirklich die Möglichkeit, die entstehende Ungleichung exakt zu lösen.
Gruß
Loddar
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Danke für die schnelle Antwort...ein kleiner dummer Rechenfehler.
Du sagst, es besteht die Möglichkeit diese Ungleichugn exakt zu lösen - wie mache ich dass denn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Benny!
So wie Du das schon selber angedeutet hast: mit der  p/q-Formel und anschließender Aufstellung der Linearfaktoren.
Das ergibt dann für die erste Aufgabe (mit gerundetetn Werten):
$$(n-41)*(n+1) \ > \ 0$$
Und ein Produkt aus zwei Faktoren ist positiv, wenn z.B. beide Faktoren positiv sind.
Gruß
Loddar
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