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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Do 01.11.2007 | | Autor: | splitter |
| Aufgabe | Für [mm] n,k\in\IN [/mm] mit [mm] {k\le n} [/mm] definieren wir die Fakultät n! durch
[mm] n!:=\produkt_{j=1}^{n}j
[/mm]
und den Binomialkoeffizienten durch
[mm] \vektor{n \\ k}:=n!/k!(n-k)!
[/mm]
Zeigen sie:
a) Für [mm] {k\le n-1} [/mm] ist [mm] \vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k + 1}=\vektor{n + 1\\ k + 1}
[/mm]
b) Für alle [mm] x,y\in\IR [/mm] ist [mm] (x+y)^n=\summe_{j=0}^{n}\vektor{n \\ j}x^j*y^{n-j}
[/mm]
c) Berechnen Sie [mm] \summe_{j=0}^{n}\vektor{n \\ j} [/mm] |
Ich versteh die Aufgabenstellung nicht und hab auch keinen
Ansatz habe eine ähnlich Aufgabe in diesem Forum gelesen
konnte aber diese nicht auf meine Übertragen.
Wäre für jeden Rat dankbar.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Do 01.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a)
Hier würde ich einfach die beiden Summanden auf de linken Seite der Gleichung in die andere Form umwandeln.
[mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ k + 1}=\bruch{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}
[/mm]
[mm] \vektor{n+1 \\ k + 1}=\bruch{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}
[/mm]
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}+\bruch{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\bruch{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}
[/mm]
soll also gelten. Das kannst du bestimmt irgedwie durch umstellen/umschreiben zeigen! Nich vergessen, dass z.B. (n+1)!=n!*(n+1) ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Do 01.11.2007 | | Autor: | splitter |
ich dank dir komme zwar immernoch nicht auf die lösung
aber es hat mir schon geholfen.
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Hallo splitter!
Bei Aufgabe b.) musst Du mittels vollständiger Induktion vorgehen.
Bei Aufgabe c.) wnedet man die Formel aus b.) mit $x \ = \ y \ = \ 1$ an.
Gruß vom
Roadrunner
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