n^2/3n<4/9 < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
ich versuche zu zeigen, dass [mm] n^2/3^n^<4/9 [/mm] für alle n<2 ist. Glaube nicht, dass dafür vollständige Induktion nötig ist, aber finde nicht wirklich eine Ungleichungskette, die mir obiges ergebnis liefern könnte. Jemand einen Tipp für mich?
Wäre super!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Fuchsschwanz,
> ich versuche zu zeigen, dass [mm]n^2/3^n^<4/9[/mm] für alle n<2 ist.
> Glaube nicht, dass dafür vollständige Induktion nötig ist,
Da n < 2 sein soll, ist vollst.Ind. von vornherein ausgeschlossen.
Soll n denn überhaupt aus [mm] \IN [/mm] sein? Dann brauchst Du nur n=0 und n=1 einzusetzen, nachzuprüfen, ob die Ungleichung stimmt, und bist fertig!
Oder aus welcher Grundmenge ist n?!
mfG!
Zwerglein
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[mm] \bruch{n^2}{3^n}<\bruch{4}{9} \gdw 9n^2<4*3^n
[/mm]
Du willst ohne Induktion arbeiten, ich nehme trotzdem mal einen Schritt aus einem Induktionsbeweis...
[mm] 9(n+1)^2<4*3^{n+1}
[/mm]
[mm] 9(n^2+2n+1)<4*3*3^n [/mm]
ab hier falsch, in späterem Beitrag korrigiert (s.u.)
[mm] \red{9n^2+9(2n+1)<4*3^n+2*3^n}
[/mm]
[mm] \red{9(2n+1)<2*3^n}
[/mm]
Diese Ungleichung ist erfüllt für [mm] \red{n\ge} \red{\a{}4.}
[/mm]
Siehst Du jetzt einen Weg?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:33 So 30.11.2008 | | Autor: | Fuchsschwanz |
Hey!
ICh habe auf einem anderen Übungszettel bewiesen, dass gilt [mm] n^3<3^n [/mm] für n>=4. Kann ich dies hier nutzen und schreiben:
[mm] 9n^2<=4n^3<4*3^n [/mm] oder ist dann der erste Schritt nicht offentsichtlich genug?
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> ICh habe auf einem anderen Übungszettel bewiesen, dass gilt
> [mm]n^3<3^n[/mm] für n>=4.
Das gilt bereits für n>3 (wenn n eine reelle Zahl ist).
Im Prinzip geht es - auch bei der Ursprungsaufgabe mit den [mm] \bruch{4}{9} [/mm] - doch wohl darum, zu zeigen, dass [mm] a^{n} [/mm] schneller wächst als [mm] n^{a} [/mm] (wenn a konstant ist und n zunimmt)
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könnte bitte nochmal jmd. dirket bezug auf meine Frage nehmen?
danke
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> könnte bitte nochmal jmd. dirket bezug auf meine Frage
> nehmen?
..... und vielleicht stellst du mal noch klar, ob du
eigentlich n<2 oder n>2 meinst, und ob [mm] n\in \IN [/mm] oder [mm] n\in \IR
[/mm]
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mist...es sollte größer 2 sein..ich bin ein idiot..
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> könnte bitte nochmal jmd. dirket bezug auf meine Frage
> nehmen?
Hallo,
wie bereits von Zwerglein angedeutet:
Du brauchst nur n=0 und n=1 einzusetzen und zu schauen, ob die Aussage stimmt, wenn Du es wirklich für n<2 zeigen sollst. Leider warst Du auf seine diesbezügliche frage nicht eingegangen.
Falls Du Dich gerade auf dies beziehst:
>>> $ [mm] 9n^2<=4n^3<4\cdot{}3^n [/mm] $
Daß [mm] 9n^2\le 4n^3 [/mm] für gewisse n richtig ist, bedarf eines Beweises.
Gruß v. Angela
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t $ [mm] 9n^2+9(2n+1)<4\cdot{}3^n+2\cdot{}3^n [/mm] $
Wie kommt reverend auf diesen Schritt? einfach nur genutzt, dass n>=4?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 So 30.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
er hat die Klammer aus der Zeile davor ausmultipl.
Gruss leduart
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ich meinte eig die rechte seite..
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wenn ich sagen will, dass [mm] n^2/3^n>0 [/mm] ist für [mm] n\in [/mm] IN, kann ich dann argumentieren, dass für n Element N Zähler und Nenner immer ungleich null sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 So 30.11.2008 | | Autor: | leduart |
Ja, das muss man nichtmal extra sagen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 So 30.11.2008 | | Autor: | leduart |
er hat die 3 in der Zeile drüber in 3=1+2 zerlegt
Gruss leduart
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Sorry, ich war einige Stunden off.
[mm] 9(n^2+2n+1)<4*3*3^n=4*\blue{(2+1)}*3^n=4*\blue{2}*3^n+4*\blue{1}*3^n
[/mm]
[mm] 9n^2+9(2n+1)<4*3^n+\green{4}*2*3^n
[/mm]
Da war (schon wieder!) ein Fehler drin. Du hast ihn gefunden, Fuchsschwanz. So wie ursprünglich gepostet, hätte ich nicht zu dem Ergebnis kommen können, das ich angegeben habe.
Ab da muss es also so weitergehen:
[mm] \green{9(2n+1)<8*3^n}
[/mm]
Diese Ungleichung ist erfüllt für [mm] \green{n\ge \a{}2.}
[/mm]
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