n.endl.erz.max Ideal ->Primid. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Mi 15.07.2009 | | Autor: | cantor |
| Aufgabe | Sei A ein Ring. Zeige:
Sei $p$ ein maximales Element in der Menge der Ideale von $A$, die nicht endlich erzeugt sind. Dann ist $p$ ein Primideal von $A$. |
Hallo!
ich versuche ein gesamtes Algebra Skript + Übungen durchzugehen und bin u. a. auf diese Aufgabe gestoßen, die ich nicht verstehe, trotz Lösungshinweisen.
In der Lösung steht:
Nimm das Gegenteil an, also $x*y [mm] \in [/mm] p$ mit $x,y [mm] \not\in [/mm] p$. Man kann $p [mm] \subset [/mm] (x)$ annehmen (denn $p + (x)$ ist endlich erzeugt, etwa von [mm] $a_1, [/mm] ... [mm] a_n, [/mm] x$ mit [mm] $a_i \in [/mm] p$; gehe dann zu $A / [mm] (a_1, [/mm] ... [mm] a_n)$ [/mm] über. Man sollte sich an dieser Stelle überlegen, dass beim Übergang zum Quotienten alle Voraussetzungen - d. h. $xy [mm] \in [/mm] p$, $x, y [mm] \not\in [/mm] p$ und $p$ minimal nicht endlich erzeugt - erhalten bleiben; für letzteres ist entscheidend, dass [mm] $(a_1, [/mm] ... [mm] a_n)$ [/mm] ein endlich erzeugtes Ideal ist. (... folgt: Rest der Lösung)
Fragen:
- warum ist $p + (x)$ endlich erzeugt? Das sehe ich nicht, wo (aus welchem Satz, Überlegung, o.ä.) kommen die [mm] a_i [/mm] her?
- was genau heißt es hier, zum Quotienten "überzugehen"? Beweise ich dann für ein Primideal im Quotienten oder wie?
- warum steht oben plötzlich "minimal", müsste da nicht "maximal" stehen?
Bin für jegliche Hinweise dankbar!
cantor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Mi 15.07.2009 | | Autor: | statler |
Hi,
ich vermute mal, daß deine Ringe eine 1 haben, oder? Sonst läge x nicht unbedingt in (x). Sind sie auch kommutativ?
Ich tu mal so, als wenn das so wäre, und denk mal etwas nach. Heute wird das allerdings nichts mehr, wenn also jd. anders tätig werden möchte, gerne.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Mi 15.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei A ein Ring. Zeige:
> Sei [mm]p[/mm] ein maximales Element in der Menge der Ideale von [mm]A[/mm],
> die nicht endlich erzeugt sind. Dann ist [mm]p[/mm] ein Primideal
> von [mm]A[/mm].
Ich nehme auch mal an, dass der Ring eine 1 hat.
> ich versuche ein gesamtes Algebra Skript + Übungen
> durchzugehen und bin u. a. auf diese Aufgabe gestoßen, die
> ich nicht verstehe, trotz Lösungshinweisen.
>
> In der Lösung steht:
>
> Nimm das Gegenteil an, also [mm]x*y \in p[/mm] mit [mm]x,y \not\in p[/mm].
> Man kann [mm]p \subset (x)[/mm] annehmen (denn [mm]p + (x)[/mm] ist endlich
> erzeugt, etwa von [mm]a_1, ... a_n, x[/mm] mit [mm]a_i \in p[/mm]; gehe dann
> zu [mm]A / (a_1, ... a_n)[/mm] über. Man sollte sich an dieser
> Stelle überlegen, dass beim Übergang zum Quotienten alle
> Voraussetzungen - d. h. [mm]xy \in p[/mm], [mm]x, y \not\in p[/mm] und [mm]p[/mm]
> minimal nicht endlich erzeugt - erhalten bleiben; für
> letzteres ist entscheidend, dass [mm](a_1, ... a_n)[/mm] ein endlich
> erzeugtes Ideal ist. (... folgt: Rest der Lösung)
>
> Fragen:
>
> - warum ist [mm]p + (x)[/mm] endlich erzeugt? Das sehe ich nicht, wo
> (aus welchem Satz, Überlegung, o.ä.) kommen die [mm]a_i[/mm] her?
Nun, da $x [mm] \not\in [/mm] p$ ist $p + (x)$ ein echt groesseres Ideal als $p$. Nun war aber $p$ maximal mit der Eigenschaft, dass es nicht endlich erzeugt ist, d.h. jedes echt groessere Ideal ist endlich erzeugt. Nun gilt jedoch $p [mm] \subsetneqq [/mm] p + (x)$, womit $p + (x)$ endlich erzeugt ist.
> - was genau heißt es hier, zum Quotienten "überzugehen"?
> Beweise ich dann für ein Primideal im Quotienten oder
> wie?
Ja, du machst den Beweis fuer die entsprechenden Objekte im Quotienten. Es gibt hier allerdings ein Problem: da $p$ nicht [mm] $(a_1, \dots, a_n)$ [/mm] enthaelt, entspricht $p$ nicht auf natuerliche Weise einem Ideal in $A / [mm] (a_1, \dots, a_n)$. [/mm] Insbesondere muss es keinen Zusammenhang zwischen $p$ und dem Bild von $p$ in $A / [mm] (a_1, \dots, a_n)$ [/mm] geben bzgl. der Frage ob es Primideale sind.
Ein weiteres Problem ist, dass nicht umbedingt $x, y [mm] \not\in [/mm] p$ sein muss im Quotient. Angenommen etwa, dass $p + (x) = A$ ist; in dem Fall koennte man $p + (x) = (1, x)$ schreiben, also [mm] $a_1 [/mm] = 1$. Dann waer $A / [mm] (a_1)$ [/mm] der Nullring, und man haette $p = 0$, $x = y= 0$, $x y = 0$, also liegt alles in $p$.
Es kann natuerlich sein, dass dieser Fall nicht auftritt, aber das muss man erstmal beweisen.
Eventuell ist der Beweis (an dieser Stelle) falsch?
> - warum steht oben plötzlich "minimal", müsste da nicht
> "maximal" stehen?
Ja, da muesste ein "maximal" stehen.
Ich werd auch mal drueber nachdenken, wie man das ganze evtl. reparieren kann.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Fr 17.07.2009 | | Autor: | cantor |
Vielen dank schonmal für Eure Ideen und Hinweise!
Und ihr lagt richtig, dass bei mir ein Ring immer die 1 enthält und kommutativ ist. Ich werde mir bei Gelegenheit das nochmal genauer ansehen.
Danke,
cantor
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