n-te ableitung & vollst. Ind. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Do 05.04.2007 | | Autor: | Carlchen |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die n-te Ableitung der Funktion [mm]f(x) = x^2e^x[/mm] und beweisen Sie per vollständiger Induktion! |
Hi Leute,
Generell keine schwierige Aufgabe.
Ich habe die ersten Ableitungen berechnet:
[mm]f^{(1)}(x) = e^x(x^2 + 2x)[/mm]
[mm]f^{(2)}(x) = e^x(x^2 + 4x +2)[/mm]
[mm]f^{(3)}(x) = e^x(x^2 + 6x +6)[/mm]
[mm]f^{(4)}(x) = e^x(x^2 + 8x +12)[/mm]
[mm]f^{(5)}(x) = e^x(x^2 + 10x + 20)[/mm]
und bin letztendlich auf die n-te Ableitung gekommen:
[mm]f^{(n)}(x) = e^x(x^2 + 2nx + n^2 - n)[/mm]
Die gilt für [mm] n \ge 0[/mm], was ich ja nun beweisen muss.
Also sage ich, wenn [mm]f^{(n)}(x) = e^x(x^2 + 2nx + n^2 - n)[/mm] gelten soll, dann muss [mm]f^{(n+1)}(x) = e^x(x^2 + 2(n+1)x + n^2 + n)[/mm] sein! (Also [mm] n \to n+1 [/mm] (Kann ich das so behaupten?))
Beh.: [mm]f^{(n+1)}(x) = e^x(x^2 + 2(n+1)x + n^2 + n)[/mm] für [mm] n \ge 0[/mm]
IS: [mm]f^{(n+1)}(x) = \bruch{d}{dx} f^{(n)}(x)[/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{d}{dx} x^2e^x + 2nx + (n^2 - n)e^x = 2xe^x + x^2e^x + 2ne^x + 2nxe^x + (n^2 - n)e^x[/mm]
[mm]= x^2e^x + (2n+2)xe^x + (2n+n^2-n)e^x[/mm]
[mm]= x^2e^x + 2(n+1)xe^x + (n^2+n)e^x[/mm]
Was ja genau der Behauptung entspricht, also q.e.d.(?)
Kann ich das prinzipiell so machen oder ist das unvollständig bzw. fehlerhaft?
Bitte mal angucken und korrigieren (auch mathematische Form). Eventuelle Tipps oder Tricks hör ich auch immer gerne zu solchen Aufgaben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Do 05.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also ich würde sagen alles richtig. Schreib am besten nur noch auf, dass die Behauptung für n=1 richtig ist, dann ist alles super.
Gruß
Hund
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