n-te Wurzel aus reeler Zahl < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte gerne die Gleichung [mm] z^4 [/mm] = -4 lösen. Ich möchte dieses gerne rechnerisch lösen, mir ist klar, dass es vier Lösungen gibt.
Mein Ansatz:
-4 = [mm] (r*e^{i\phi})^4
[/mm]
= [mm] r^4 [/mm] * [mm] (e^{i\phi})^4
[/mm]
- 4 liegt auf der reelen Achse und daher muss [mm] \phi [/mm] = 180° = [mm] \pi [/mm] sein.
Der Betrag muss, da es sich um eine Länge handelt positiv sein, es
ist daher [mm] \wurzel[4]{4} [/mm] = [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Jetzt muss ich noch aus dem e - Teil vier Lösungen bestimmen. Für
das Bestimmen von Einheitswurzeln habe ich die Formel:
[mm] z_k [/mm] = [mm] e^{i*2*\pi*k/n} [/mm] mit k = 0,...,N-1 bei mir k = 0,1,2,3
Die Lösungen stimmen aber nicht so recht:
[mm] z_1 [/mm] = [mm] e^{i*0} [/mm] = 1 --> Meine Gesamtlösung wäre dann [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Wäre dankbar um eine Anleitung.
marthasmith
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Mi 09.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
hier beitet es sich an die $-4$ in polarkoordinaten darzustllen und nicht das $z$, die darstellung dafür ergibt sich nämlich dann automatisch. es gilt dann für $k [mm] \in \mathbb{Z}$:
[/mm]
[m] z^4 = -4 \; \Longleftrightarrow \; z^4 = 4 \exp(\pi i + 2 k \pi i) \; \Longleftrightarrow \; z = \sqrt[4]{4} \exp\frac{\pi i + 2 k \pi i}{4} \; \Longleftrightarrow \; z = \sqrt{2} \exp\left( \frac{\pi i}{4} + \frac{k \pi i}{2} \right) [/m]
wenn man nun die werte $k = 0, 1, 2, 3$ einsetzt (danach wiederhohlen sich die werte ja immer im 4er-zykus), so erhält man die lösungen: [m] z_0 = \sqrt{2} \exp \frac{\pi i}{4} = 1 + i, \; z_1 = \sqrt{2} \exp\left( \frac{3 \pi i}{4} \right) = -1 + i, \; z_2 = \sqrt{2} \exp\left( \frac{5 \pi i}{4} \right) = -1 - i, \; z_3 = \sqrt{2} \exp\left( \frac{7 \pi i}{4} \right) = 1 - i [/m]. die lage dieser punkte findest du in folgender grafik:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich hoffe das hilft dir weiter, wenn nicht melde dich nochmal.
grüße
andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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