n-te Ableitung einer e-Funkt. < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 So 06.02.2005 | | Autor: | Back-Up |
Hallo,
ich möchte die n-te Ableitung folgender Funktion bilden:
f(x)= [mm] e^{5x}+x^{n-1}
[/mm]
Die ersten drei Ableitungen lauten:
[mm] f'(x)=5*e^{5x}+(n-1)*x^{n-2}
[/mm]
[mm] f''(x)=25*e^{5x}+(n-1)*(n-2)*x^{n-3}
[/mm]
[mm] f'''(x)=125*e^{5x}+(n-1)*(n-2)*(n-3)*x^{n-4}
[/mm]
Wie sieht jetzt die Schreibweise für die n-te Ableitung aus?
Viele Grüße
Back-Up
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Hallo, Back-Up
Die mir bekannten Schreibweisen sind [mm] $f^{(n)}$
[/mm]
und
[mm] $\frac{d^n f(x)}{d x^n}$ [/mm] oder [mm] $\frac{d^n}{d x^n}f(x)$
[/mm]
im speziellem fall wirst du ja wissen was die n-te oder noch höhere Ableitung von [mm] $x^n$ [/mm] ist
und wie sich der Faktor vor [mm] $k*e^{5x}$ [/mm] mit jeder weiteren Ableitung ändert.
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Hallo, Back-up,
also: ganz "leicht" ist die Frage wirklich nicht.
Bei der Exponentialfunktion kommt man zwar relativ schnell drauf, dass die n-te Ableitung von [mm] e^{5x} [/mm] wohl [mm] 5^{n}*e^{5x} [/mm] ist.
Aber bei der Potenzfunktion muss man anders vorgehen: Die Hochzahl (n-1) ist ja um 1 kleiner als die "Nummer" der Ableitung.
Probieren wir's aus: y=x; y'=1; y"=0.
[mm] y=x^{2}; [/mm] y'=2x; y"=2; y'''=0
[mm] y=x^{3}; y'=3x^{2}; [/mm] y"=6x; y'''=6; y''''=0.
Bedeutet: Ist die Hochzahl niedriger als die "Nummer" der Ableitung, so ist das Ergebnis=0.
Prima: Also ist auch bei Deiner Aufgabe: [mm] y^{(n)}=5^{n}*e^{5n}
[/mm]
(und sonst nix!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 06.02.2005 | | Autor: | Back-Up |
Hallo,
danke. Ich habe es soweit verstanden. Jetzt suche ich wieder eine Schreibweise für die n-te Ableitung folgender Funktion:
[mm] f(x)=e^{-x}
[/mm]
Bei den Ableitungen würde ja immer nur das Vorzeichen wechseln. Wie schreibt man das jetzt nur?
[mm] f^{(n)}=?
[/mm]
Gruß
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Eigentlich ganz easy. Die Ableitung von [mm] e^{-x} [/mm] ist - [mm] e^{-x}.
[/mm]
Die zweite Ableitung dann wieder [mm] e^{-x} [/mm] .
Offensichtlich wechselt sich das Vorzeichen bei jeder Ableitung, d.h.
[mm] f^{(n)} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] e^{-x}.
[/mm]
[mm] (-1)^n [/mm] wechselt sein Vorzeichn ja auch immer.
Gruß
marthasmith
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 So 06.02.2005 | | Autor: | Back-Up |
Danke. Auf das hoch n war ich so spontan nicht drauf gekommen. Hätte ich wissen müssen ;)...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 So 06.02.2005 | | Autor: | dominik |
Für den zweiten Teil der Funktion [mm]f(x)= e^{5x}+x^{n-1}[/mm], nämlich: [mm]x^{n-1}[/mm] lässt sich folgende Struktur erkennen:
> Die ersten drei Ableitungen lauten:
>
> [mm]f'(x)=5*e^{5x}+(n-1)*x^{n-2}[/mm]
[mm]f'[/mm]: "f 1 Strich" [mm] \Rightarrow [/mm] 1 Faktor: (n-1); Exponent: n-1-1=n-2
> [mm]f''(x)=25*e^{5x}+(n-1)*(n-2)*x^{n-3}[/mm]
[mm]f"[/mm]: "f 2 Strich" [mm] \Rightarrow [/mm] 2 Faktoren: (n-1)(n-2); Exponent: n-1-2=n-3
> [mm]f'''(x)=125*e^{5x}+(n-1)*(n-2)*(n-3)*x^{n-4}[/mm]
[mm]f'''[/mm]: "f 3 Strich" [mm] \Rightarrow [/mm] 3 Faktoren: (n-1)(n-2)(n-3); Exponent: n-1-3=n-4
>
> Wie sieht jetzt die Schreibweise für die n-te Ableitung aus?
[mm]f^{(n)}[/mm]: "f n Strich" [mm] \Rightarrow [/mm] n Faktoren: (n-1)(n-2)(n-3)...(n-n);
Exponent: n-1-n=-1.
Nun ist [mm](n-1)(n-2)(n-3)...(n-n)=0[/mm] wegen des letzten Faktors; damit fällt der ganze Term weg.
Also gibt es zu dieser Aufgabe die verschiedensten Ansatzmöglichkeiten!
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 So 06.02.2005 | | Autor: | Back-Up |
Auch dir danke ich für die ausführliche Antwort.
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