n-te Ableitung Quotientenregel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Fr 03.02.2006 | | Autor: | pAt84 |
Hallo,
Ich benötige die n-te Ableitung [mm] \frac{{d^n }}{{dx^n }}\frac{{f(x)}}{{g(x)}} [/mm] der Quotientenregel [mm] \frac{d}{{dx}}\frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}}{{g(x)^2 }} [/mm].
Folgendes habe ich mir gedacht:
Ich forme den Quotienten in ein Produkt um und wende danach die Lebniz Identität an, gesagt getan:
[mm]
\frac{{d^n }}
{{dx^n }}\frac{{f(x)}}
{{g(x)}} = \frac{{d^n }}
{{dx^n }}f(x)g(x)^{ - 1} = \sum\limits_{k = 0}^n {\ { \vektor{n \\ k}} } \frac{{d^k }}{{dx^k }}f(x)\frac{{d^{n - k} }}{{dx^{n - k} }}g(x)^{ - 1}
[/mm]
Nun habe ich das Problem, dass ich die n-te Ableitung [mm]\frac{{d^n }}{{dx^n }}g(x)^{ - 1} [/mm] benötige und da komme ich nicht weiter. Die ersten drei Ableitungen sehen wie folgt aus:
[mm]
\frac{d}
{{dx}}g(x)^{ - 1} = - g'(x)g(x)^{ - 2}
[/mm]
[mm]
\frac{{d^2 }}
{{dx^2 }}g(x)^{ - 1} = - g''(x)g(x)^{ - 2} + 2g'(x)g(x)g(x)^{ - 3} = g(x)^{ - 2} \left[ { - g''(x) + 2g'(x)} \right]
[/mm]
[mm]
\frac{{d^3 }}
{{dx^3 }}g(x)^{ - 1} = - 2g'(x)g(x)^{ - 3} \left( { - g''(x) + 2g'(x)} \right) + g(x)^{ - 2} \left( { - g'''(x) + 2g''(x)} \right)
[/mm]
[mm]
= g(x)^{ - 2} \left[ { - 2g'(x)g(x)^{ - 1} \left( { - g''(x) + 2g'(x)} \right) + \left( { - g'''(x) + 2g''(x)} \right)} \right]
[/mm]
Wie man sieht habe ich auch schon probiert ein Muster zu finden, bin aber gescheitert.
Eine andere Möglichkeit wäre es sicherlich auf die erste Ableitung wieder die Leibniz Identität anzuwenden, aber da komme ich auch nicht weiter.
Ich bin für jede Anregung dankbar.
Danke
Pat
|
|
| |
|
Hallo Patrick aus China,
das Stichwort ist hier Induktion. Den Anfang hast du ja schon und jetzt weiter...!
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Fr 03.02.2006 | | Autor: | pAt84 |
Hallo Daniel aus Berlin,
leider verstehe ich nicht ganz, was du meinst. Ich kenne die Induktion nur vom Induktionsbeweis her. Ich wüsste nicht wie mir das ganze hier helfen soll, ich kann ja schließlich nicht die k-te sowie die (k+1)-te Ableitung aufstellen. Vielleicht kannst du mir noch einen Denkanstoß geben?
Patrick
|
|
|
| |
|
Hallo,
doch natürlich kannst du das. Du hast doch schon ein wenig herumprobiert. Die Frage ist zunächst, wie sieht diese n-te Ableitung aus? Da hattest du schon einen guten Ansatz. Ein bisschen Probieren liefert das eigentlich sofort.
Und das beweist du dann mit der Induktion über n. Derartige Induktionsbeweise findest du im Netz, wenn du nicht genau weißt wie das geht!
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:10 Fr 03.02.2006 | | Autor: | pAt84 |
Hallo,
ja aber das ist es ja gerade. Ich bekomme die n-te Ableitung nicht herraus, ich habe mir jetzt noch die vierte aufgestellt aber das wird nur noch unübersichtlich und anfällig für Faselfehler.
Vielen Dank für die Antworten bis hier her.
Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Mo 06.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Patrick!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
|
|
|
|
