n-faches Würfeln < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Mi 28.10.2009 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe | Geben Sie ein, für das Lösen folgender Aufgabe, geeignetes Modell für den n-fachen Würfelwurf an.
i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt jede Augenzahl mindestens einmal auf.
ii) Zeigen Sie, dass diese Wahrscheinlichkeit größer als 1/2 ist, für alle n größer gleich 13. |
Hallo Leute!
Wir haben mal wieder eine Aufgabe zu der wir noch nichtmal die Grundlagen in der Vorlesung hatten ( Glaub ich zumindest).
Also das Modell würde ich wie folgt wählen:
[mm] \omega = \left\{ \omega=(\omega_1,...,\omega_n) | \omega_j \in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} [/mm] für alle [mm]1 \le j\le n\right\} [/mm]
die Sigmaalgebra ist die Potenzmenge und die wahrscheinlichkeit für ein omega (ein elementarereignis) ist [mm] \bruch{1}{6^n} [/mm]
So mein Problem ist jetzt schon wie ich überhaupt an die Aufgabe rangehen soll, mit Binomialverteilung? Wenn ja wie mache ich das? (hatten bisher nur laplace)
Ich wäre euch für Hilfe sehr dankbar... grübel schon seit stunden und im netz hab ich auch nix gescheites gefunden, außer dass mal 15 mal würfeln muss...???
Viele liebe Grüße
Mary
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mi 28.10.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
klar,
[mm] $\Omega\ [/mm] =\ [mm] \{1,2,\ldots ,6\}\times\ \ldots\ \times\ \{1,2,\ldots ,6\}$
[/mm]
und [mm] $|\Omega| [/mm] = [mm] 6^{n}$.
[/mm]
Für $n<6$ ist es unmöglich,
daß jede Augenzahl mindestens einmal vorkommt,
die Wahscheinlichkeit ist $0$.
Sei jetzt $n=6$.
Jede Permutation der Augenzahlen [mm] $1,2,\ldots [/mm] ,6$ führt dazu,
daß jede Augenzahl mindestens einmal auftritt;
die Wahscheinlichkeit ist [mm] $\frac{6!}{6^{6}}=\frac{720}{46656}=1,54\%$. [/mm]
Was ist aber mit n größer als 6?
Ich weiß es noch nicht.
Für $n=7$ finde ich:
eine der 7 Zahlen muß auf alle Fälle doppelt vorkommen.
Damit wird die Wahrscheinlichkeit
[mm] $\frac{6*\frac{7!}{2!}}{6^{7}}=\frac{6!}{6^{6}}*\frac{7}{2}=5.4\%$.
[/mm]
Soweit
schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 28.10.2009 | | Autor: | Mary1986 |
Was ist denn, wenn man jetzt mal bedenkt, dass man nicht 6 mal Würfelt sondern 12 Mal, müsste sich dann die Wahrscheinlichkeit nicht verdoppel?
Wobei... das Omega vergößert sich ja auch... hmmm... vll wäre das
Aber wenn ich es addiere, also es als unabhängig voneinander betrachte... dann wird es größer... vll bringt das ja was... also sowas wie
[mm] \frac{6!}{6^{6}} + \frac{6!}{6^{6}} = 0,030 [/mm] beim 12maligen Wurf
also [mm] \frac{6!}{6^{6}} + \frac{n!}{6^{6}}[/mm] wenn man mit n erst zu zählen anfängt wenn es min. 6 mal geworfen wird???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mi 28.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Mary,
bezeichne mit [mm] $A_i$ [/mm] das Ereignis, dass Augenzahl $i_$ mindestens einmal auftritt. Gesucht ist
[mm] $P(A_1\cap\dots\cap A_6)=1-P(\overline{A}_1\cup\dots\cup \overline{A}_6)$.
[/mm]
Nutze nun die Siebformel.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Do 29.10.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
ein prima Tipp!
Wenn $ [mm] A_i [/mm] $ das Ereignis ist,
daß Augenzahl $ i_ $ mindestens einmal auftritt,
dann ist [mm] $\overline{A_{i}}$ [/mm] das Ereignis,
daß Augenzahl $ i_ $ nicht mindestens einmal auftritt,
m.a.W [mm] $\overline{A_{i}}$ [/mm] ist das Ereignis,
daß Augenzahl $ i_ $ fehlt!
Und dies ist das Ereignis,
daß nur von $ i_ $ verschiedene Augenzahlen auftreten.
Sei jetzt $ [mm] B_i [/mm] $ das Ereignis,
daß nur von $ i_ $ verschiedene Augenzahlen auftreten.
Dann ist [mm] $P(\overline{A_{i}})=P(B_{i})$
[/mm]
mit (in unserem Fall)
[mm] $P(B_{i})=(\frac{5}{6})^n\qquad \forall i\in \{1, \ldots ,6\}$.
[/mm]
Fehlt: Was ist [mm] $P(\overline{A}_1\cup\dots\cup \overline{A}_6)=P(B_{1}\cup\dots\cup B_{6})$?
[/mm]
[mm] $P(B_{1}\cup\dots\cup B_{6})$:[u]hier [/mm] kommt die Siebformel in's Spiel![/u]
Und schon wird es eine Viecherei.
Die Lösung findet sich z.B. in dem Buch von
Detlev Plachky: Mathematische Grundbegriffe und Grundsätze der Stochastik
auf Seite 65.
Detlev Plachky erhält a.a.O:
[mm] $P(B_{1}\cup\dots\cup B_{6})=\summe_{k=1}^{6}(-1)^{k+1}*{ 6 \choose k }*(\frac{6-k}{6})^{n}$.
[/mm]
Schönen Gruß
Karsten
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Do 29.10.2009 | | Autor: | Mary1986 |
Hi! Danke euch für die schnelle Hilfe... das leuchtet mir aber leider noch nicht ganz ein...
Also ich hab jetzt dass es [mm]P(B_{i})=(\frac{5}{6})^n\qquad [/mm]
aber jetzt muss ich ja noch irgendwie zeigen dass ich damit auf das
[mm]P(B_{1}\cup\dots\cup B_{6})=\summe_{k=1}^{6}(-1)^{k+1}\cdot{}{ 6 \choose k }\cdot{}(\frac{6-k}{6})^{n} [/mm]
komme
wie zeige ich denn was die schnittmenge aller B's überhaubt ist... also was setzte ich für die zweite summe in der Siebformel ein???
wir hatten bisher nur dass die wahrscheinlichkeit aus den schnittmengen = dem produkt aus den einzelnen wahrscheinlichkeiten für die B's sind... das wäre dann aber ja... [mm](\bruch{5}{6})^6[/mm] und dann hätte ich kein n mehr so wie der in seinem Buch?!
Versteht ihr mein Problem???
Viele liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Do 29.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Mary,
schoen, dass *du* das Endergebnis anscheinend von vorherein kanntest.
Das haette die Arbeit sehr erleichtert... ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]")
Die Siebformel besagt, dass [mm] $P(B_{1}\cup\dots\cup B_{6})$ [/mm] die Summe der
folgenden Summanden ist:
1) Die Summe der Wsken [mm] $P(B_{1})$,..., $P(B_{6})$
[/mm]
2) Die Summe der Wsken [mm] $-P(B_i\cap B_j)$ $i\ne [/mm] j$. Wieviel gibt es davon?
3) Die Summe der Wsken [mm] $P(B_i\cap B_j \cap B_k)$, $i\ne j\ne [/mm] k$. Wieviel gibt es davon?
4) Die Summe der negativen Wsken aller "Vierekombinationen". S.o.
5) Die Summe der Wsken aller "Funferkombinationen". S.o.
Jetzt musst du noch die einzelnen Wsken berechnen.
Was ist beispielsweise [mm] $P(B_1\cap B_2\cap B_3)$?
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Fr 30.10.2009 | | Autor: | Mary1986 |
Hi Luis!
Sorry, wenn es jetzt so ausgesehen hat, aber ich kannte das Endergebnis nicht von vornherein... bin erst selbst gestern drauf gekommen, dank dem Tip von Karma!
Ich werde mich sofort heute nachmittag daran machen die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen!
Danke auch für deine Hilfe!
Viele liebe Grüße
Mary
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Fr 30.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Mary,
den Zusatz von Karma habe ich nicht gesehen (er wurde anscheinend auch spaeter ersr hinzugefuegt).
Wie heisst es so schoen bei Otto Waalkes?
Großhirn an alle:
Ärger langsam eindämmen!
Adrenalinzufuhr stoppen und Blutdruck langsam senken!
Achtung: Fertig machen zum Händeschütteln und Schulterklopfen!
In diesem Sinne.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Fr 30.10.2009 | | Autor: | aly19 |
Hallo,
ich sitze gerade an derselben aufgabe und hab da wohl noch irgendwie einen denkfehler.
also ich suche ja:
[mm] P(A_1 \cap A_2 \cap ...\cap A_6)
[/mm]
das is aber gleich [mm] 1-P(A_1^c \cup A_2^c \cup ...\cup A_6^c), [/mm] richtig? Bei der Vereinigung kann ich dann aber die EInschluss-Ausschlussformel anwenden.
ich habe jetzt aber nicht vertsnaden, was die einschluss ausschnluss formel besagt und wie ich die darin enthaltenen schnitte berechnen soll.
ahhhh durch die Multiplikation der einzelnen wahrscheinlichkeiten? das schonmal richtig? und welche summanden sind nun genau in der siebformel?
also 1) ist klar.
2) [mm] P(A_1^c \cap A_2^c) [/mm] +... insgesamt 6*5 Stück?
Wäre super wenn ihr mir da noch helfen könnt.
schönen abend noch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Mary1986 |
Hi Luis!
Kann es sein, dass für die einzelnen W-keiten... also die Punkte 1-5 immer 1 rauskommt???
Dann würde ja (mit der Formel für's Ein&Ausschlussprinzip)
Für [mm]P(B_{1}\cup\dots\cup B_{6}) = 1 - \bruch{1}{6}[/mm] rauskommen oder???
Also, ich mach es nochmal Schritt für Schritt... nicht dass ich da nen Fehler drin hab (ich nehm einfach deine Punkte) [es gibt ja immer 6 mögliche Kombinationen und die schnittmenge ist immer [mm]\bruch{1}{6}[/mm] ]
1. = 1
2. = -1
3. = 1
4. = -1
5. = 1
so das wäre also die zweite summe in der Siebformel...
wenn ich das jetzt mit der ersten summe verrechne würde ich auf 6 kommen... aber das kann es nicht sein oder???
Viele Grüße
Mary
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Sa 31.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Mary,
kann dir leider gar nicht folgen.
Nehmen wir mal alle Zweierschnitte $ [mm] P(B_i\cap B_j)$. [/mm] Davon gibt's
insgesamt [mm] $\binom{6}{2}$. [/mm] $ [mm] B_i\cap B_j$ [/mm] bedeutet, dass
die Augenzahlen $i_$ und $j_$ nicht erscheinen. Das passiert mit der
Wsk [mm] $((6-2)/6)^n$. [/mm] Also liefert 2) den Beitrag
[mm] $-\binom{6}{2}(1-2/6)^n$ [/mm] zur Gesamtwahrscheinlichkeit.
Wir naehern uns der Vorgabe ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Mary1986 |
Lach mein Fehler war schon dass ich nicht alle Kombinationen mit bedacht hab... *erst hirn einschalten, dann denken*
also... lass uns das mal mit 1 und 2 konkret machen... die w.keit dafür, dass keine zwei eintritt ist ja [mm] (\bruch{5}{6})^n [/mm] genauso wie dafür das keine 1 eintritt... also ist die schnittmenge der beiden w.keiten
[mm] (\bruch{5}{6})^n [/mm] oder?
so, die schnittmenge aller zweierkombis ist [mm] (\bruch{5}{6})^n [/mm]
da das ganze [mm]\binom{6}{2}[/mm] auftritt ist die summe aller zweierkombis [mm]- \binom{6}{2}* (\bruch{5}{6})^n[/mm] oder? wie kommst du denn auf [mm]-\binom{6}{2}(1-2/6)^n[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 31.10.2009 | | Autor: | luis52 |
> also... lass uns das mal mit 1 und 2 konkret machen... die
> w.keit dafür, dass keine zwei eintritt ist ja
> [mm] (\bruch{5}{6})^n [/mm] genauso wie dafür das keine 1
> eintritt... also ist die schnittmenge der beiden w.keiten
> [mm](\bruch{5}{6})^n [/mm] oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> so, die schnittmenge aller zweierkombis ist
> [mm](\bruch{5}{6})^n [/mm]
> da das ganze [mm]\binom{6}{2}[/mm] auftritt ist
> die summe aller zweierkombis [mm]- \binom{6}{2}* (\bruch{5}{6})^n[/mm]
> oder?
Wo ist das Problem? Betrachte [mm] $B_1\cap B_2$. [/mm] Es bedeutet, dass weder 1 noch 2 gewuerfelt wird, also eine der Zahlen 3,4,5,6. Diese Wsk ist
[mm] $\left(\frac{4}{6} \right)^n=\left(\frac{6-2}{6} \right)^n=\left(1-\frac{2}{6} \right)^n$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Mary1986 |
Ja danke... in dem moment als ich das grade ändern wollte hattest du die frage schon reserviert... *g* mir ist mein denkfehler selbst aufgefallen! Aber nochmal einen RIESEN DANK für deine Hilfe!
Viele liebe Grüße
Mary
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> Geben Sie ein, für das Lösen folgender Aufgabe,
> geeignetes Modell für den n-fachen Würfelwurf an.
> i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt jede Augenzahl
> mindestens einmal auf.
> ii) Zeigen Sie, dass diese Wahrscheinlichkeit größer als
> 1/2 ist, für alle n größer gleich 13.
In ii) ist die Lösung ja bereits vorgegeben.
Ich habe mal eine Formel entwickelt, mit der man auf die Lösung (13) kommt:
[mm] (1-(\bruch{5}{6})^{x})^{6}>0.5
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] x=\bruch{ln(1-\wurzel[6]{0.5)}}{ln(\bruch{5}{6})}
[/mm]
Dann ist x=12.15
Die nächsthöhere natürliche Zahl ist die 13
Die "6" sind die sechs Seiten des Würfels.
Die "5" ist 6 - 1
Die 0.5 ist die Wahrscheinlichkeit von 1/2
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