matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und Reihenmonotonie
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Folgen und Reihen" - monotonie
monotonie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

monotonie: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 So 16.11.2008
Autor: dorix

Aufgabe
[mm] p_n=\left( \bruch{2}{1} \right)*$ \left( \bruch{4}{3} \right) $*\left( \bruch{6}{5} \right)*...*$ \left( \bruch{2n}{2n-1} \right) [/mm] $

zu zeigen: [mm] \left( \bruch{p_n}{\wurzel{n+1}} \right) [/mm] ist mon. steigend.

hallo,...

1. Möglichkeit: [mm] \left( \bruch{p_n_+_1^2}{n+2} \right)$ -\left( \bruch{p_n ^2}{n+1} \right) [/mm] $ [mm] \ge [/mm] 0

2. Möglichkeit: [mm] \left( \bruch{\left( \bruch{p_n_+_1^2}{n+2} \right)}{\left( \bruch{p_n^2}{n+1} \right)} \right) \ge [/mm] 1  

habe schon beide möglichkeiten probiert, scheitere kläglich. warum?

mein ansatz zur 1. methode:  [mm] \left( \left( \bruch{2}{1} \right) \left( \bruch{4}{3} \right)\left( \bruch{6}{5} \right)...\right)^2 [/mm]   [mm] \left( \left( \bruch{2n+2}{2n+1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+2} \right) - \left( \bruch{2n}{2n-1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+1} \right)\right) [/mm]
dann ist der erste teil [mm] \ge [/mm] 0.

zu zeigen: [mm] \left( \left( \bruch{2n+2}{2n+1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+2} \right) - \left( \bruch{2n}{2n-1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+1} \right)\right)\ge0. [/mm]

also:
[mm] \left( \left( \bruch{2n+2}{2n+1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+2} \right) \ge\left( \bruch{2n}{2n-1} \right)^2 \left( \bruch{1}{n+1} \right)\right) [/mm]

puh...hoffe, es haben sich keine fehler eingeschlichen;-)
komme auf nix, was mir weiter hilft, wenn ich das ausmultipliziere.
kann jemand weiter helfen?



        
Bezug
monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 So 16.11.2008
Autor: reverend

Hallo dorix,

eine kurze Rückmeldung zu beiden Methoden:
Vorab aber mach Dir klar, dass [mm] p_{n+1}=p_n*\bruch{2n+2}{2n+1} [/mm] ist. Das brauchst Du bei beiden Wegen (und Du hast es ja auch schon verwendet).

1. Möglichkeit:
[mm]\left( \bruch{p_n_+_1^2}{n+2} \right)-\left( \bruch{p_n ^2}{n+1} \right)=\blue{\left( \bruch{2n+2}{2n+1} \right)^2} \left( \bruch{\green{p_n^2}}{n+2} \right) - \red{\left( \bruch{2n}{2n-1} \right)^2 } \left( \bruch{\green{p_n^2}}{n+1} \right)\ge[/mm] 0

Die blaue Klammer stammt aus der Rekursion [mm] p_{n+1}, p_n, [/mm] aber woher nimmst Du die rote? Das ist hier wohl schon das ganze Problem. (Die [mm] p_n^2 [/mm] musste ich einfügen, weil ich aus Deiner Gleichung in einem späteren Stadium kopiert habe. Hier sind sie ja noch da).

2. Möglichkeit:

zu zeigen: [mm] \bruch{p_{n+1}^2}{n+2}\ge\bruch{p_n^2}{n+1} [/mm]

Da auch wieder die Rekursionsformel für [mm] p_{n+1} [/mm] einsetzen, dann fliegt bald [mm] p_n^2 [/mm] raus, und Du kannst lustig umformen und gelangst zu der zu prüfenden Aussage [mm] 3n+1\ge0 [/mm]
...



Bezug
                
Bezug
monotonie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 So 16.11.2008
Autor: dorix

vielen dank,

habe meinen fehler gefunden;-)

hänge jetzt aber am grenzwert fest, da ich dachte man könnte ihn für
[mm] \left( \bruch{p_n^2}{n} \right) [/mm] einfach aus der rekursionsvorschrift ableiten...funktioniert aber so nicht...

Bezug
                        
Bezug
monotonie: k.A.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:03 So 16.11.2008
Autor: reverend

=keine Ahnung.

Der Grenzwert für [mm] \left(\bruch{p_n^2}{n}\right) [/mm] ist zwar [mm] \pi, [/mm] aber ich habe keine Ahnung, warum. Ich erkenne keine der mir bekannten Reihenentwicklungen wieder. Außerdem konvergiert Deine Folge entsetzlich langsam. Wahrscheinlich ist mir die Entwicklung daher auch noch nie begegnet.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]