monoton wachsend/fallend < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll zeigen, dass die Folge an = (1 + [mm] 1/n)^n [/mm] monoton wachsend ist. Nach meinen Rechnungen ist sie aber monoton fallend. Was mach ich falsch?
Mein Lösungsweg:
Wenn an monoton wachsend, dann gilt:
a(n+1)/an > 1 also
(1 + 1/(n + 1))^(n + 1) : (1 + [mm] 1/n)^n
[/mm]
=
(1 + 1/(n + 1))^(n + 1) : ((n + [mm] 1)/n)^n
[/mm]
=
(1 + 1/(n + 1))^(n + 1) * (n/(n + [mm] 1))^n
[/mm]
=
(n/(n + 1) + n/(n + [mm] 1)^2)^{2n + 1}
[/mm]
=
((n(n + 1) + n)/(n + [mm] 1)^2)^{2n + 1}
[/mm]
=
[mm] ((n^2 [/mm] + [mm] 2n)/(n^2 [/mm] + 2n + 1))^(2n + 1)
=
((n(n + [mm] 2))/(n^2 [/mm] + 2n + 1))^(2n + 1)
=
((n + 2)/(n + 2 + 1/n))^(2n + 1) < 0
Seht ihr den Fehler??
LG,
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
> (1 + 1/(n + 1))^(n + 1) : (1 + [mm]1/n)^n[/mm]
> =
> (1 + 1/(n + 1))^(n + 1) : ((n + [mm]1)/n)^n[/mm]
> =
> (1 + 1/(n + 1))^(n + 1) * (n/(n + [mm]1))^n[/mm]
> =
> (n/(n + 1) + n/(n + [mm]1)^2)^{2n + 1}[/mm]
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Was hast Du denn in diesem Schritt gemacht?
Und ... bitte verwende doch auch unseren Formeleditor. Damit sieht das gleich viel schöner aus und lässt sich viel besser nachvollziehen bzw. kontrollieren.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Fr 06.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Na da hab ich die beiden Terme ausmultipliziert und die Potenzen miteinander addiert! Geht doch so, oder?
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Hallo Martin,
der Ansatz [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}>1 [/mm] zu zeigen, ist richtig, allerdings musst du im weiteren etwas "tricksen" mit der Bernoulli-Ungleichung:
Also [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\underbrace{\green{\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)} }_{=1}
[/mm]
[mm] =\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)=\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)=\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)=\left(\frac{n^2+2n\red{+1-1}}{n^2+2n+1}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)
[/mm]
[mm] =\left(1+\left[-\frac{1}{(n+1)^2\right]}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)\underbrace{>}_{Bernoulli}\left(1-\frac{n+1}{(n+1)^2}\right)\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)=\left(\frac{n}{n+1}\right)\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)=1
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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