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| Aufgabe | Für eine beschränkte Folge [mm](a_n)_{n_\in \IN}[/mm] reeller Zahlen und [mm]k \in \IN ^*[/mm] sei
[mm]s_k \ := \ sup \ \{a_n \ | \ n \ge k\}[/mm].
Zeigen Sie: Die Folge [mm](s_k)_{k\in \IN^*[/mm] fällt monoton und es gilt:
lim sup [mm]a_n[/mm] = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \ s_k[/mm] |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Morgen,
ich bin gerade dabei bei der obrigen Aufgabe die Monotonie zu beweisen und habe mir gedacht das ich das mit Induktion mache, weil das sonst auch immer funktioniert hat.
Maein Problem ist das sup, ich weis nicht genau wie ich damit in einer Induktion umgehen soll oder ob ich es raus nehmen soll.
Ich hätte jetzt gedacht das folgendes zu zeigen wäre:
[mm]sup \ \{a_n \ | \ n \ge k\} \ \ge \ sup \ \{a_n \ | \ n \ge k\}[/mm].
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Di 04.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Die Monotonie ist trivial und lässt sich in einer Zeile zeigen: [mm] $(s_k)_{k\in\IN}$ [/mm] ist monoton fallend, falls die Aussage
[mm] $s_k\leqslant s_{k+1}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$
[/mm]
gilt. Diese Aussage lässt sich direkt zeigen:
[mm] $s_k=\sup\{a_n\mid n\geqslant k\}=\max\{\sup\{a_n\mid n\geqslant k+1\},a_k\}\geqslant\sup\{a_n\mid n\geqslant k+1\}=s_{k+1}$
[/mm]
Damit ist [mm] $(s_k)_{k\in\IN}$ [/mm] monoton fallend.
Bist Du Dir sicher, dass die zweite Aussage auch gilt? Denn nimm Dir mal die beschränkte Folge [mm] $a_n=\frac{1}{n}$ ($n\in\IN$). [/mm] Diese Folge ist insgesamt durch die Konstante $C=1$ beschränkt. Das Supremum dieser Folge ist folglich gleich $1$. Die Folge [mm] $s_k$ [/mm] konvergiert jedoch gegen $0$, womit diese Gleichheit nicht gelten würde.
Gruß Denny
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Hi,
erstmal danke für deine Antwort.
Aber ein paar Fragen hab ich noch.
[mm]s_k=\sup\{a_n\mid n\geqslant k\}=\max\{\sup\{a_n\mid n\geqslant k+1\},a_k\}\geqslant\sup\{a_n\mid n\geqslant k+1\}=s_{k+1} [/mm]
Woher kommt beim zweiten Schritt den das [mm]a_k[/mm]?
Wenn ich bei der zweiten Annahme [mm] [/mm]a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}[/mm] [/mm] einsetze bekomm ich folgendes heraus:
[mm]lim \ sup a_n = \limes_{k\rightarrow\infty} s_k[/mm]
Jetzt setz ich zuerst [mm]s_k[/mm] ein
[mm]lim \ sup \ a_n \ = \ \limes_{k\rightarrow\infty} sup\{a_n\}[/mm]
dann hab ich
[mm]lim \ sup \bruch{1}{n} = \limes_{k\rightarrow\infty} sup \bruch{1}{n}[/mm]
beides ist 1, oder hab ich irgendwo ein Denkfehler und wenn nicht wie kann man sowas allg. zeigen?
Grüße,
Mareike
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Di 04.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mareike!
> [mm]s_k=\sup\{a_n\mid n\geqslant k\}=\max\{\sup\{a_n\mid n\geqslant k+1\},a_k\}\geqslant\sup\{a_n\mid n\geqslant k+1\}=s_{k+1}[/mm]
>
> Woher kommt beim zweiten Schritt den das [mm]a_k[/mm]?
Es wird einfach aus der Menge herausgenommen und wieder hinzugefügt: die Menge [mm]\{a_n\mid n\geqslant k\}[/mm] besteht ja aus [mm]\{a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, \dots \} [/mm]. die vergleiche ich mit der Menge [mm]\{a_n\mid n\geqslant k+1\} = \{ a_{k+1}, a_{k+2}, \dots \} [/mm]. In der zweiten Menge fehlt gerade das erste Element [mm]a_k[/mm].
>
> Wenn ich bei der zweiten Annahme [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> einsetze bekomm ich folgendes heraus:
> [mm]lim \ sup a_n = \limes_{k\rightarrow\infty} s_k[/mm]
> Jetzt
> setz ich zuerst [mm]s_k[/mm] ein
> [mm]lim \ sup \ a_n \ = \ \limes_{k\rightarrow\infty} sup\{a_n\}[/mm]
Das musst du etwas präziser schreiben:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \sup\{a_n\mid n\geqslant k\} = \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}[/mm]
> dann hab ich
> [mm]lim \ sup \bruch{1}{n} = \limes_{k\rightarrow\infty} sup \bruch{1}{n}[/mm]
>
> beides ist 1, oder hab ich irgendwo ein Denkfehler und wenn
> nicht wie kann man sowas allg. zeigen?
Nein, beides ist 0. Bei der rechten Seite habe ich es eben schon aufgeschrieben.
Die linke Seite ist der Limes superior der Folge [mm](a_n)[/mm], also der größte Häufungspunkt. Die Folge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert gegen 0, hat also nur den einen Häufungspunkt 0. Also sind beide Seiten tatsächlich gleich.
Ich weiß nicht, wie ihr [mm]\limsup[/mm] definiert habt. Eine übliche Definition ist
[mm] \limsup a_n = \inf_{k\ge0} (\sup_{n\geqslant k} a_n) = \inf_{k\geqslant0} \sup\{a_n\mid n\geqslant k\} = \inf \{ \sup\{a_n\mid n\geqslant k\}\mid k\geqslant 0\}[/mm]
Im vorliegenden Fall wäre das [mm] \inf_{k\geqslant0} s_k [/mm], du müsstest also zeigen, dass
[mm] \inf_{k\geqslant0} s_k = \limes_{k\rightarrow\infty} s_k[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Okay, erstmal danke für deine ausführliche Antwort.
Ich hab mich mal an dem Beweis probiert:
[mm]\inf_{k\geqslant0} \ \ sup \ \{a_n \ | \ n \ge k\} \ = \ \limes_{k\rightarrow\infty} \ \ sup \ \{a_n \ | \ n \ge k\}[/mm]
Ich will jetzt irgendwie von links nach rechts kommen
Eigenltich kann ich mit deiner Definition anfangen:
[mm]\limsup a_n = \inf_{k\ge0} (\sup_{n\geqslant k} a_n) = \inf_{k\geqslant0} \sup\{a_n\mid n\geqslant k\} = \inf \{ \sup\{a_n\mid n\geqslant k\}\mid k\geqslant 0\}[/mm]
[mm]= \inf_{k\ge 0} \ \sup_{n\ge k} \ a_n \ = \ \limes_{k\rightarrow\infty} \ ( \inf_{n\ge k} \ a_n)[/mm]
Geht das?
Viele Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mi 05.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mareike!
> [mm]= \inf_{k\ge 0} \ \sup_{n\ge k} \ a_n \ = \ \limes_{k\rightarrow\infty} \ ( \inf_{n\ge k} \ a_n)[/mm]
Links steht [mm]\limsup a_n[/mm], also der größte Häufungspunkt, rechts [mm]\liminf a_n[/mm], also der kleinste Häufungspunkt von [mm](a_n)[/mm]. Wenn die Folge konvergiert, sind die gleich. Konvergenz ist aber nicht vorausgesetzt.
Ich würde mir überlegen, was ich über [mm]\lim_{k\rightarrow\infty} s_k[/mm] aussagen kann. Du weisst doch, dass die Folge [mm](s_k)[/mm] monoton fällt, und dass [mm](a_n)[/mm] beschränkt ist. Was kannst du über
[mm] \inf_{k\geqslant 0} s_k [/mm]
folgern?
Viele Grüße
Rainer
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:56 Di 04.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Denny!
> Bist Du Dir sicher, dass die zweite Aussage auch gilt? Denn
> nimm Dir mal die beschränkte Folge [mm]a_n=\frac{1}{n}[/mm]
> ([mm]n\in\IN[/mm]). Diese Folge ist insgesamt durch die Konstante
> [mm]C=1[/mm] beschränkt. Das Supremum dieser Folge ist folglich
> gleich [mm]1[/mm]. Die Folge [mm]s_k[/mm] konvergiert jedoch gegen [mm]0[/mm], womit
> diese Gleichheit nicht gelten würde.
[mm]\limsup[/mm] ist nicht das Supremum der Folge, sondern der größte Häufungspunkt, der ist hier auch 0.
Viele Grüße
Rainer
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