momenterzeugende Funktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit [mm] X\in\mathcal{L}^k [/mm] für alle $k$ und mit
[mm] r=\big(\limes_{k\rightarrow\infty}sup\wurzel[k]{\bruch{\vert E(X^k)\vert}{k!}}\big)^{-1}>0
[/mm]
Ausserdem sei [mm] \kappa_k(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0} [/mm] für [mm] k\in\IN, [/mm] wobei
[mm] M_x(z)=E(e^{zX}) [/mm] momenterzeugende Funktion.
(a) Bestimme [mm] \kappa_1(X), \kappa_2(X) [/mm] und [mm] \kappa_3(X) [/mm] in Abhängigkeit der Momente von X.
(b) Zeige, dass [mm] \kappa_1(X+c) =\kappa_1(X)+c [/mm] und [mm] \kappa_k(X+c)=\kappa_k(X) [/mm] für alle [mm] k\ge [/mm] 2 und [mm] c\in\IR [/mm] gilt.
(c) Zeige weiter, [mm] \kappa_k(cX)=c^k\kappa_k(X) [/mm] für alle [mm] k\le [/mm] 1 und alle [mm] c\in\IR [/mm] gilt.
(d) Sind X,Y unabhängig, dann gilt [mm] \kappa_k(X+Y)=\kappa_k(X)+\kappa_k(Y) [/mm] für alle [mm] k\ge [/mm] 1 |
Hallo,
(a) Ich habe gelesen dass gilt
[mm] \kappa_k(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^k).
[/mm]
also muss für k=1: [mm] \kappa_1(X)=E(X) [/mm] Erwartungswert
[mm] \kappa_1(X)=(log M_{X}(z)^{(1)})|_{z=0}
[/mm]
erstmals habe ich log [mm] M_{X}(z) [/mm] abgeleitet, d.h. (log [mm] M_{X}(z))'=\bruch{1}{ M_{X}(z)}(M_{X}(z))'=\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(Xe^{zX})\overset{z=0}{=}E(X)
[/mm]
Intuitiv würde ich nun sagen, dass [mm] \kappa_2(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^2) [/mm] und [mm] \kappa_3(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^3).
[/mm]
aber für k=2 erhalte ich:
[mm] (\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(Xe^{zX}))'\overset{produktregel}{=}\bruch{-1}{ M_{X}(z)}^2E(X^e^{zX})+\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(X^2e^{zX})\overset{z=0}{=}E(X^2)-E(X)
[/mm]
für k=3 : [mm] \kappa_3(X)= E(X^3)-2E(X^2)+2E(X)
[/mm]
stimmt das soweit?
(b) [mm] \kappa_1(X+c)=E(X+c)\overset{EW linear}{=}E(X)+c=\kappa_1(X)+c
[/mm]
nun habe es für erstmals für k=2 nachgeprüft: Wenn ich es ausgehe [mm] \kappa_2(X)=E(X^2), [/mm] dann erhalte ich [mm] \kappa_2(X+c)=E((X+c)^2)=E(X^2)+2cE(X)+c^2, [/mm] aber wie komme ich von dort zu [mm] \kappa_2(X)? [/mm]
Kann mir da jemand weiterhelfen?
(c) [mm] \kappa_k(cX)=E((cX)^k)=E(c^kX^k)c^kE(X^k)=c^kE(X^k)
[/mm]
(d) ich habe es mit der Verwendung des Binomischen Lehrsatzes versucht, aber kam zu keinem Ergebnis.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
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Hiho,
> (a) Ich habe gelesen dass gilt
> [mm]\kappa_k(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^k).[/mm]
das Buch zeig mir mal!
Es gilt [mm] $M_{X}(z)^{(k)}\big|_{z=0}=E(X^k)$, [/mm] also ohne [mm] $\log$ [/mm] davor.
Das ist die namensgebende Eigenschaft der Momenterzeugenden Funktion $M$.
Die Eigenschaft hattet ihr bestimmt auch… und demzufolge kann diese Eigenschaft nicht auch für [mm] $\kappa$ [/mm] gelten…
> erstmals habe ich log [mm]M_{X}(z)[/mm] abgeleitet
Gute Idee…
> d.h. (log [mm]M_{X}(z))'=\bruch{1}{ M_{X}(z)}(M_{X}(z))'=\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(Xe^{zX})\overset{z=0}{=}E(X)[/mm]
Halten wir erst mal fest: Es gilt:
[mm] $\kappa_1(X)\big|_{z=0} [/mm] = [mm] \bruch{M'_X(z)}{ M_{X}(z)}\big|_{z=0} [/mm] = [mm] \frac{E[X]}{1} [/mm] = E[X]$
Das $M'_X(z) = [mm] E[Xe^{zX}]$ [/mm] gilt, ist alles andere als trivial und wurde von dir auch nicht begründet. Du vertauschst da nämlich Ableitung und Erwartungswert, warum sollte das möglich sein? Links steht nämlich [mm] $\frac{d}{dz}M_X(z) [/mm] = [mm] \frac{d}{dz}E[e^{zX}]$ [/mm] und rechts steht [mm] $E[Xe^{zX}] [/mm] = [mm] E\left[\frac{d}{dz}e^{zX}\right]$. [/mm] Warum solltest du den Operator [mm] $\frac{d}{dz}$ [/mm] in den Erwartungswert ziehen können?
> Intuitiv würde ich nun sagen, dass [mm]\kappa_2(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^2)[/mm]
> und [mm]\kappa_3(X)=(log M_{X}(z)^{(k)})|_{z=0}=E(X^3).[/mm]
Woher kommt deine Intuition?
Ich vermute ja, du verwechselst [mm] \kappa [/mm] und [mm] M_X
[/mm]
> aber für k=2 erhalte ich:
> [mm](\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(Xe^{zX}))'\overset{produktregel}{=}\bruch{-1}{ M_{X}(z)}^2E(X^e^{zX})+\bruch{1}{ M_{X}(z)}E(X^2e^{zX})\overset{z=0}{=}E(X^2)-E(X)[/mm]
Wieder: Schreibe lieber nur $M'_X$ und verwende die Eigenschaften der Momenterzeugenden Funktion.
Dann erhälst du: [mm] $\left(\frac{M'_X(z)}{M_X(z)}\right)' [/mm] = [mm] \frac{M''_X(z)M_X(z) - \left(M'_X(z)\right)^2}{M^2_X(z)}$ [/mm] und dann erhälst du für $z=0$ was?
Nicht deine Lösung… und wenn du die Lösung dann noch scharf anschaust, erkennst du womöglich, wie man das sonst nennt.
> (b) [mm]\kappa_1(X+c)=E(X+c)\overset{EW linear}{=}E(X)+c=\kappa_1(X)+c[/mm]
du unterschlägst hier schon wieder das [mm] $\log$ [/mm] im [mm] $\kappa$
[/mm]
> (c) [mm]\kappa_k(cX)=E((cX)^k)=E(c^kX^k)c^kE(X^k)=c^kE(X^k)[/mm]
Hier auch…
> (d) ich habe es mit der Verwendung des Binomischen
> Lehrsatzes versucht, aber kam zu keinem Ergebnis.
Viel einfacher: Was gilt für die momenterzeugende Funktioen einer Summe von unabhängigen Zufallsvariablen?
Also was ist [mm] M_{X+Y} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] M_X [/mm] und [mm] $M_Y$? [/mm] Nutze dann Logarithmusgesetze…
Gruß,
Gono
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