modifiziertes Newton-Verfahren < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 So 16.12.2007 | | Autor: | Yadis |
| Aufgabe | Ein modifiziertes Newtonverfahren besteht darin, dass man im Punkt xi statt einer tangierenden Geraden eine tangierende Parabel q(x) an die Funktion f(x) anlegt, um eine Nullstelle mit f(ξ) = 0 zu finden. Für f(x) gelte f'(x) [mm] \not= [/mm] 0 und f''(x) [mm] \not= [/mm] 0 in einer Umgebung von ξ. Die quadratische Funktion q(x) wird so bestimmt, dass gilt:
q(xi) = f(xi)
q'(xi) = f'(xi)
q''(xi) = f''(xi)
Als nächster Punkt der Iterationsfolge wird nun derjenige Schnittpunkt der Parabel mit der xAchse gewählt, der die Konvergenz xi → ξ für i → ∞ gewährleistet.
a) Konstruieren Sie dieses Verfahren für eine beliebige Funktion f(x). Begründen Sie die Wahl des Schnittpunktes.
b) Entwickeln Sie sowohl das normale als auch das modifizierte Newtonverfahren für die
Funktion f(x) = ln x, x > 0. Berechnen Sie jeweils den ersten Iterationswert für den Startwert x0 = e. |
Hallo, es geht um Teilaufgabe a)
Unter der Aufgabenstellung oben haben wir schon viel hin und her probiert und allerlei Funktionen entwickelt, die aber alle entweder falsch waren oder aber ein neues Verfahren beschreiben, dass nicht das gewünschte ist.
Die eigentliche Frage:
Nach ein wenig Suchen sind wir auf ein Verfahren mit dem Namen Halley-Verfahren gestoßen (in einem Lehrbuch, gibts sicher auch im Netz). Dieses Verfahren heißt auch Verfahren der tangierenden Hyperbeln. Die Entwicklung dazu ist allerdings in einer Form, von der ich mir nicht vorstellen kann, dass wir das so machen sollen.
Weiß jemand, ob das Halley-Verfahren genau der Aufgabenstellung entspricht evtl mit Begründung?
edit: Inzwischen weiß ich, dass es nicht das Halley-Verfahren ist, da dort g(xi)=f(xi) nicht erfüllt ist.
Hat jemand eine Idee, welches Verfahren es sonst sein kann, bzw wie man es kontruieren kann?
Vielen Dank für jede Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Yadis,
Um die Suche abzukürzen es ist weder das Halley Verfahren noch das ![[]](/images/popup.gif) Euler-Tschebyschow-Verfahren oder das Householder Verfahren.
Woher weißt Du eigentlich was das gewünschte Verfahren ist?
Ansonsten brauchst Du eine quadratische Funktion deren Ableitung mit der Ausgangsfunktion übereinstimmt. -> Taylorentwicklung?
Der Konvergenzsichernde Punkt wird wohl der sein der näher am vorherigen Punkt liegt. Ich weiß aber ad hoc auch keine passende Erklärung dafür. Ist mehr so ein Gefühl 
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 So 16.12.2007 | | Autor: | Yadis |
Hmm, an die Taylorentwicklung dachte ich auch schon, die führte auch zu einem Verfahren, allerdings haben wir dann keine tangierende Parabel, sonder eine schneidende Parabel. Diese erfüllt dann auch die geforderten Eigenschaften und konvergiert auch deutlich schneller, aber sie ist eben nicht tangierend. Ich kann mir das gesuchte Verfahren nur geometrisch vorstellen, und wenn man da das Halley Verfahren benutzt sieht es zwar richtig aus, erfüllt aber die Eigenschaften nicht, das von uns bisher entwickelte sieht halt falsch aus (wenn man die Funktionen mal ausrechnet und zeichnen lässt), aber es erfüllt die Eigenschaften.
Möglich wäre, dass die Aufgabenstellung nicht 100% korrekt ist (wäre nicht das erste Mal). Jedenfalls hat noch keiner meiner Komilitonen einen richtigen Ansatz.
Auf jeden Fall sind wir ja da schon auf dem richtigen Weg mit der Taylorentwicklung, danke dir für deine Tipps.
MfG
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Hallo Yadis,
Das mit dem tangierend ist natürlich relativ und kommt schon auf die Funktion an. Das wird nicht bei jeder klappen das das nur tangierend ist. Das kann sein das die Aufgabenstellung hier nicht 100% korrekt ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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