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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Di 18.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich hab eine frage zu BEweis des Mittelwertsatzes, da ich leider aus den Beweisen bei wiki udn anderen seiten nicht wirklich schlau werde ein häufiger Ansatz ist, dass gilt:
m= Minimus M=Maximum
m *(b-a) [mm] \le \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le [/mm] M*(b-a)
darf man jetzt einfach wie es hie rgemacht wird
http://www.mathepedia.de/Mittelwertsatz.aspx
durch (b-a) teilen um auf
m [mm] \le \bruch{1}{(b-a)}\integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le [/mm] M
zu kommen??
und wie verläuft der beweis dann weiter, weil meiner Meinugn nach der Zwischenwertsatz nur besagt dass f(x) jeden wert im Intervall [a;b] annimmt..oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Di 18.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Vors: b>a
[mm] m=min_{x\in[a,b]}(f(x)) [/mm] und [mm] M=max_{x\in[a,b]}(f(x))
[/mm]
jede Ungleichung kann man durch eine positive Zahl teilen.Der Zwischenwertsatz sagt, dass f(x) falls stetig jeden Wert zwischen m und M annimmt.
Damit bist du fertig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 18.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke für die schnelle antwort, aber weshalb bin ich damit fertig, die zahl die ich suche liegt zwischen dme minimum und dem maximum also in meinem fall den intervallgrenzen a un b was ist damit denn bewiesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Di 18.11.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
der Satz sagt "lediglich" aus:
es existiert ein [mm] \xi \in [a,b]: \integral_{a}^{b}{f(x) dx}= f(\xi)(b-a)[/mm]
und dass wird beweisen.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 18.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
das ist schon klar, aber warum wird das bewiesen indem man sagt dass m *(b-a)kleinergleich dem integral von a bis b von f und die kleiner gleich M*(b-a)
maximum und minimum sidn doch hie rienfahc die intervallgrenzen a und bh oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Di 18.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso sind max und min die Intervallgrenzen? wenn du ne beliebige Stetige funktion hast nimmt die doch nur wenn sie streng monoton ist ihr min und max auf dem Rand an?
irgendwie kriegst du die x werte von f(x) und die funktionswerte durcheinander. Zeichne dir doch mal ne nicht zu einfache fkt auf, mit ein paar bergen und taelern zwischen a und b. Und dann mach dir klar, was der Mittelwertsatz sagt. Wenn du ein Rechteck der Laenge b-a und der zweiten Seite groesster Funktionswert nimmst ist die Flaeche (mit vorzeichen) groesser als die Flaeche unter der Kurve ( mit Vorzeichen) und entsprechend das Rechteck mit der seite m kleiner. dann zeichne das Rechteck, was die wirkliche Flaeche hat und du siehst das hat eine Hoehe zwischen M und m und die Hoehe ist dann [mm] f(\xi)
[/mm]
Gruss leduart
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Der "Beweis" in Wikipedia ist ungeschickt dargestellt.
Es ist richtig, dass es zu
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] ein [mm] \xi [/mm] zwischen a und b gibt mit [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=(b-a)*f(\xi).
[/mm]
Dein Einwand gegen den Beweis ist absolut korrekt, der Zwischenwertsatz besagt nur, dass bei stetigem f jeder Funktionswert zwischen a und b angenommen wird, und das hat mit dem Integral eigentlich überhaupt nichts zu tun. Das angegebene Integral stellt wegen der festen Grenzen a und b nicht einmal eine Funktion dar, sondern einen festen Wert, also eine Konstante. Die Argumentation bei Wikipedia ist völlig verschleiert!
Richtig ist nun Folgendes:
Wenn man akzeptiert, dass es im Intervall [a|b] ein [mm] x_m [/mm] und ein [mm] x_M [/mm] gibt, so dass [mm] m=f(x_m) [/mm] das Minimum und [mm] M=f(x_M) [/mm] das Maximum wird und wenn man akzeptiert, dass nun
(nach Umstellen) m [mm] \le \bruch{1}{(b-a)}\integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le [/mm] M ist, so ist jetzt
[mm] f(x_m)\le \bruch{1}{(b-a)}\integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le f(x_M) [/mm] .
Das bedeutet aber nach dem Zwischenwertsatz, dass es ein [mm] \xi [/mm] zwischen [mm] x_m [/mm] und [mm] x_M [/mm] gibt, so dass der angegebene Wert zwischen
[mm] f(x_m) [/mm] und [mm] f(x_M) [/mm] - nämlich der Integralausdruck - von diesem angenommen wird, also [mm] f(\xi)ist.
[/mm]
Also gibt es ein [mm] \xi [/mm] zwischen [mm] x_m [/mm] und [mm] x_M, [/mm] so dass
[mm] \bruch{1}{(b-a)}\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=f(\xi) [/mm] ist und damit
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=(b-a)f(\xi).
[/mm]
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