min{x,1} stetig nachweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit $f(x) = [mm] min\{x,1\}$ [/mm] stetig ist. |
Hallo!
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich an die Aufgabe rangehen soll; mir machen die x Probleme, die nahe an 1 liegen.
Ich habe es mit der Folgenstetigkeit probiert. Dann müsste ich zeigen, dass für jede Folge [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}\in\IR$ [/mm] mit [mm] $x_{n}\to [/mm] x$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gilt, dass auch
[mm] $f(x_{n})\to [/mm] f(x)$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ist.
Nun dachte ich an eine Fallunterscheidung:
Fall 1: $x < 1$:
Da [mm] $x_{n}\to [/mm] x$, gibt es ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] sodass für alle $n > N$ gilt: [mm] $|x_{n}-x| [/mm] < [mm] \varepsilon$, [/mm] also auch
[mm] $|x_{n}| [/mm] = [mm] |x_{n}-x [/mm] + x| [mm] \le |x_{n}-x| [/mm] + |x| < [mm] \varepsilon [/mm] + |x|$.
(Ich versuche grade mehr oder weniger verzweifelt zu zeigen, dass dann ab einem gewissen n auch alle Folgenglieder kleiner als 1 sind, wie kann ich das zeigen?)
D.h. für [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt dann:
[mm] $f(x_{n}) [/mm] = [mm] x_{n}$, [/mm] also ist gilt [mm] $f(x_{n}) [/mm] = [mm] x_{n} \to [/mm] x$ [mm] ($n\to\infty)$.
[/mm]
Fall 2: $x = 1$
Hier könnte die Folge der [mm] $(x_{n})$ [/mm] ja von beiden Seiten kommen. Wie gehe ich dann vor?
[mm] $x_{n} \to [/mm] 1$ [mm] (n\to\infty)
[/mm]
[mm] $f(x_{n}) [/mm] = [mm] \begin{cases}x_{n}\quad x_{n} < 1\\ 1\quad x_{n}\ge 1\end{cases}\to [/mm] 1$ ?
Fall 3: $x > 1$
Da [mm] $x_{n}\to [/mm] x$, gibt es ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] sodass [mm] $|x_{n}-x| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Hier weiß ich jetzt aber nicht genau, wie ich zeigen kann, dass dann [mm] |x_{n}| [/mm] > 1 für alle $n > N$ ist.
Dann könnte ich wieder sagen: Also ist [mm] $f(x_{n}) [/mm] = 1$ ab $n > N$, also gilt auch [mm] $f(x_{n}) [/mm] = [mm] 1\to [/mm] 1 = f(x)$ [mm] (n\to\infty).
[/mm]
Könnte ihr mir helfen, meine Lücken zu füllen? Oder geht es vielleicht mit der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Methode besser?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Do 03.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich finde Folgenstetigkeit wegen dem für ALLE Folgen für einen Stegkeitsbeweis immer schwierig. (Unstetigkeit dafür damit leicht)
warum willst du nicht mit [mm] \epsilon, \delta [/mm] arbeiten. klar ist dass dein konstante fkt f=1 für x>1 und die fkt f=x für x<1 stetig sind. Also nur die Steigkeit für x=1 und zwar für x<1 ist ein mini Problem.
x>1 ist ja f(x) konstant, also auch für jede Folge von [mm] x_n>1 [/mm] die gegen 1 konvergiert =1
Dann schreib einfach auf: was ist min((1-h),h) 0<h<1
und du bist schon fast fertig. das geht natürlich auch mit beliebigen 0 Folgen [mm] y_n [/mm] und [mm] x_n=1-y_n [/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Hilft Dir
$ f(x) = [mm] min\{x,1\}= \bruch{x+1-|x-1|}{2} [/mm] $
etwas ?
FRED
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