min. Flächeninhalt bestimmen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:35 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Fabian |
Hallo
ich komm bei folgender Aufgabe nicht weiter.
f(x) = [mm] kx^{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{k} [/mm] mit n [mm] \in \IR [/mm] und k [mm] \in \IR+
[/mm]
ist eine Funktionenschar n-ten Grades. Die Grafen Gfk schließen mit den Koordinatenachsen und der zur y-Achse parallelen Geraden durch x = n jeweils ein Flächenstück ein.
Für welche k hat das Flächenstück einen minimalen Inhalt?
Ich hab mal versucht zu integrieren und dann zu differenzieren um auf den minimalen Inhalt zu kommen , aber da hab ich mich tot gerechnet und komm nicht weiter. Dann ist mir aufgefallen , das wenn ich eine Funktion integriere und danach wieder differenziere , ich ja wieder die Ausgangsfunktion erhalte. F'(x) = f(x) aber da komm ich dann auch nicht weiter.
Wäre sehr dankbar für Tipps
Gruß Fabian
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000003053&read=1&kat=Schule
|
|
| |
|
Hallo Fabian,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich komm bei folgender Aufgabe nicht weiter.
>
> f(x) = [mm]kx^{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{k}[/mm] mit n [mm]\in \IR[/mm] und
> k [mm]\in \IR+[/mm]
> ist eine Funktionenschar n-ten Grades. Die Grafen Gfk
> schließen mit den Koordinatenachsen und der zur y-Achse
> parallelen Geraden durch x = n jeweils ein Flächenstück
> ein.
> Für welche k hat das Flächenstück einen minimalen
> Inhalt?
bist du sicher, dass $n [mm] \in [/mm] R$ und nicht $n [mm] \in [/mm] N$ gelten soll???! ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Für k>0 und n gerade wirst du keine Nullstellen finden, also auch keine umschlossenen Flächenstücke.
>
> Ich hab mal versucht zu integrieren und dann zu
> differenzieren um auf den minimalen Inhalt zu kommen , aber
> da hab ich mich tot gerechnet und komm nicht weiter. Dann
> ist mir aufgefallen , das wenn ich eine Funktion integriere
> und danach wieder differenziere , ich ja wieder die
> Ausgangsfunktion erhalte. F'(x) = f(x) aber da komm ich
> dann auch nicht weiter.
> Wäre sehr dankbar für Tipps
>
> Gruß Fabian
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000003053&read=1&kat=Schule
danke für den Hinweis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Fabian |
Hi
So wie ich die Aufgabe verstanden habe wird die Fläche durch die Koordinatenachsen und der zur Y-Achse parallelen Geraden durch x = n begrenzt . Ich denke dann mal , dass die Grenzen 0 und n sind. Kann mich aber auch irren.
Danke für dein Interesse
Gruß Fabian
|
|
|
| |
|
Hallo Fabian,
> Hi
>
> So wie ich die Aufgabe verstanden habe wird die Fläche
> durch die Koordinatenachsen und der zur Y-Achse parallelen
> Geraden durch x = n begrenzt . Ich denke dann mal , dass
> die Grenzen 0 und n sind. Kann mich aber auch irren.
Also bleibe ich mal bei $n [mm] \in [/mm] N$.
f(x) = $ [mm] kx^{n} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{k} [/mm] $
Du bildest also das Integral
[mm] $\integral_{0}^{n} {(kx^{n} + \bruch{1}{k}) dx}$
[/mm]
Es ergibt sich eine Funktion A(k) , in der auch n als (feste) Variable vorkommt.
Diese Funktion soll nun minimal werden, also musst du sie nach k ableiten und sorgsam darauf achten, dass n >0 als konstant zu betrachten ist.
Dann erhältst du tatsächlich einen Wert für k , der von n abhängt.
So kannst du nun für jedes bel. n>0 das k bestimmen, für das die Fläche extremal wird.
Es bleibt "nur noch" der Nachweis, dass sie auch minimla ist - aber das wirst du bestimmt wissen, wie's geht 
Zeig uns mal deine Rechnungen, bitte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Fabian |
[mm] \integral_{0}^{n} {f(kx^{n}+ \bruch{1}{k}) dx}
[/mm]
Also , ich hab jetzt erstmal das Integral ausgerechnet
A(k) = [mm] k\bruch{1}{n+1} n^{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{n}{k}
[/mm]
Dann hab ich A(k) abgeleitet
A'(k) = [mm] \bruch{n^{n+1}}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n}{k^{2}}
[/mm]
Ist das bis jetzt alles richtig ? Das mit dem n>0 = konstant hab ich noch nicht richtig verstanden. Kannst du meine Rechnung vielleicht überprüfen und korrigieren?
Gruß Fabian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Sa 11.12.2004 | | Autor: | noebi |
Deine Rechnung ist bis hier richtig.
Du hast jetzt die Ableitung der Flächenfunktion A(k). Um die Extremstelle (hier das Minimum) zu finden, setze A'(k) = 0 und du kannst k in Abhängigkeit von n darstellen.
Jetzt weißt du aber nur, für welches k die Fkt. A(k) eine Extremstelle hat. Es ist noch zu prüfen, ob es auch ein Minimum ist. Hierzu musst du A'(k) noch mal nach k ableiten. Ist dann A" > 0 hast du ein Minimum. Das ist hier eben nur der Fall für n>0.
Das sollte es gewesen sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Fabian |
A'(k)= [mm] \bruch{ n^{n+1}}{n+1}+ \bruch{n}{ k^{2}}
[/mm]
ich hab dann [mm] \bruch{ n^{n+1}}{n+1} [/mm] = a gesetzt
dann A'(k) = 0
a - [mm] \bruch{n}{ k^{2}} [/mm] = 0
daraus folgt k = [mm] \wurzel{ \bruch{n}{a}}
[/mm]
dann hab ich A''(k) gebildet
A''(k) = [mm] \bruch{2n}{ k^{3}}
[/mm]
Minima bei A''(k) > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] n>0
So , ich hoffe ich hab alles richtig gemacht. Vielen Dank für eure Tipps und Lösungen.
Gruß Fabian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Sa 11.12.2004 | | Autor: | noebi |
Hätte ich genau so gemacht. Nur die Substitution a=..... macht wenig Sinn, weil du im Ausdruck für k dann kürzen kannst.
k = [mm] \wurzel{ \bruch{n}{a}} [/mm] = [mm] \wurzel{ \bruch{n+1}{n^{n}}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Sa 11.12.2004 | | Autor: | informix |
Hallo noebi,
sorry - ich habe mich verrechnet!
Deine Lösung ist ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
|
|
|
|
