mikrokanonische Zustandssumme < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mi 07.01.2015 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute,
ich werde heute eine kleine Nachtschicht einlegen, weil ich eine Aufgabe lösen will, von deren Thema ich überhaupt keine Ahnung habe.
Ich soll über die mikrokanonische Zustandssumme die freie Helmholtz-Energie von N nicht miteinander wechselwirkenden (edit: klassischen) harmonischen Oszillatoren in einer Dimension berechnen.
Ich weiß weder, was die freie Helmholtz-Energie, noch die mikrokanonische Zustandssumme ist, da ich in meiner Vorlesung weit hinterherhänge.
Hat jemand eine gute Quelle, mit der ich die Aufgabe in einer Nacht lösen kann^^?
Gruß
Paivren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mi 07.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
die Begrifflichkeiten zumindest kannst du in jedem Lehrbuch der statistischen Physik nachlesen.
In jedem Fall wirst du das Eigenwertproblem lösen müssen. Du erhälst dann die Energieeigenwerte [mm] $E_\alpha$ [/mm] und die mikrokanonische Zustandssumme ist die Summe von [mm] $\delta(E-E_\alpha)$ [/mm] über alle Quantenzustände [mm] $\alpha$. [/mm] (Um die Summe auszuführen ist die Sattelpunktsmethode nützlich.)
Die Freie Energie F kann man einfach über die kanonische Zustandssumme [mm] $Z=\sum_\alpha \exp\frac{-E_\alpha}{T}$ [/mm] bestimmen: [mm] $F=-T\ln [/mm] Z$.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Mi 07.01.2015 | | Autor: | Paivren |
Hey, danke erst mal für Deine Antwort.
In Lehrbüchern wird an der jeweiligen Stelle aber eine Unmenge an Wissen vorausgesetzt, das ich noch nicht habe, und mir an dieser Stelle auch nicht aneignen kann.
Ich habe vergessen, zu sagen, dass die Oszillatoren klassisch zu betrachten sind.
Wikipedia zur Zustandssumme:
![[]](/images/popup.gif) Mikrokanonische Zustandssumme
Muss ich jetzt dieses Integral berechnen?
[mm] z_{m}(U,V,N)= \integral_{U-\Delta U \le H(p,q,N,V)\le U}^{b}{\bruch{d^{3N}pd^{3N}q}{h^{3N}N!}}
[/mm]
im klassischen Fall kann der Oszillator ja kontinuierliche Energien annehmen.
Die Potentiale sind V(x)= [mm] \bruch{1}{2}m \omega^{2} x^{2}
[/mm]
Aber was soll ich jetzt mit dem Integral machen?!
Was ist überhaupt h?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Do 08.01.2015 | | Autor: | andyv |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\Delta U$ ist im Vergleich zu U klein, also ist $\Omega(E)=\frac{1}{h^N N!}\int d^Nx \int d^Np \delta\left(E-\frac{<p|p>}{2m}-V(x)}\right)$, wobei ich mit $<\cdot|\cdot>$ das kanonische SKP im $\mathbb{R}^N$ bezeichne
h ist die Plancksche Konstante.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Do 08.01.2015 | | Autor: | Paivren |
Oh weh, ich glaube, ich habe so gar nicht die nötigen Kenntnisse dafür :(
Das passiert, wenn man zu lange nicht mehr am Ball geblieben ist.
Was ist das für ein [mm] \Omega [/mm] (E) und wie geht es aus meinem Integral hervor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Do 08.01.2015 | | Autor: | andyv |
[mm] $\Omega(E)$ [/mm] ist die mikrokanonische Zustandssumme, es ist die Ableitung von [mm] $z_m$, [/mm] d.h. [mm] $\Omega(E)=z_m'(E)$. [/mm] Beachte hier, dass die Ableitung der Heaviside Distribution die Delta-Distribution ist und ferner, dass für große N und kleine [mm] $\Delta [/mm] U$, das Integral von 0 bis [mm] $U-\Delta [/mm] U$ nichts beiträgt.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Do 08.01.2015 | | Autor: | Paivren |
In dem Wikipedia-Artikel ist von zwei unterschiedlichen Definitionen der Zustandssumme die Rede.
Mein Integral, das ich oben gepostet habe, beinhalteet doch gar keine Heaviside-Funktion!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Do 08.01.2015 | | Autor: | andyv |
Wenn du de Integrationsbereich auf [mm] $\mathbb{R}^N$ [/mm] ausdehnst, kriegst du 2 Heavise-Funktionen rein, eine davon kannst du aber wie bereits erwähnt für große N und kleine [mm] $\Delta [/mm] U$ vergessen.
Liebe Grüße
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