metrischer Raum in C < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 So 25.09.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | [mm] $\IC$ [/mm] ist bezüglich der Distanzfunktion $d(z,w) = |w-z|$ ein metrischer Raum.
a) Erkläre: jede Teilmenge [mm] $M\subset \IC$ [/mm] ist ebenfalls ein metrischer Raum.
b) Zeige: Eine Teilmenge [mm] $U\subset [/mm] M$ ist genau dann offen bezüglich M wenn es eine bezüglich [mm] $\IC$ [/mm] offene Teilmenge [mm] $V\subset \IC$ [/mm] gibt, derart dass $U= V [mm] \cap [/mm] M$
c) Was folgt daraus für den Fall, dass M selber offene Teilmenge von [mm] $\IC$ [/mm] ist. |
Hallo!
a) Für [mm] $\IC$ [/mm] gilt bezüglich der Distanzfunktion$ d(p,q)=|p-q|, o,p,q [mm] \in \IC$ [/mm] :
$d(p,q)>0 \ \ [mm] \forall p\ne [/mm] q , d(q,q)=0$
$d(p,q)=d(q,p)$
[mm] $d(p,q)\le [/mm] d(p,o)+d(o,q)$
Da $M [mm] \subset \IC$ [/mm] gelten diese Eigenschaften somit auch für alle Punkte aus M und M ist wieder ein metrischer Raum.
b) zu zeigen ist:
[mm] $V\subset \IC$ [/mm] offen mit [mm] $U=V\cap [/mm] M [mm] \gdw U\subset [/mm] M [mm] \subset \IC$, [/mm] U ist offen
1. [mm] $"\Leftarrow": [/mm] $ Sei U offen, dann gibt es zu jedem [mm] $o\in [/mm] U$ eine Zahl [mm] $z_{o}$ [/mm] mit [mm] $d(o,q)
2. [mm] $"\Rightarrow":$ [/mm] Es ist [mm] $V\subset \IC$ [/mm] offen mit $U= [mm] V\cap [/mm] M$. Dann hat jeder Punkt $o [mm] \in [/mm] U$ eine Umgebung [mm] $G_{o} \subset [/mm] V$. Es gilt weiters [mm] $G_{o} \cap [/mm] M [mm] \subset [/mm] U$ und damit ist $ U [mm] \subset [/mm] M $ offen.
Mit 1. und 2. folgt die Behauptung!
c) dann ist U ganz sicher offen??
Ist das so richtig??
Bin für jede Korrektur und Tipps dankbar!!
Gruss und Dank
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo kushkus,
a) ist perfekt. c) ist richtig, aber es fehlt noch der Beweis. Bei b) muss man sorgfältig zwischen "offen" und "offen bzgl. M" unterscheiden. Die eine Richtung der Behauptung lautet demnach:
Ist [mm]U[/mm] offen bzgl. [mm]M[/mm], so gibt es eine offene Menge [mm]V[/mm] mit [mm]U=V\cap M[/mm].
Und die andere:
Ist [mm]V[/mm] offen, so ist [mm]V\cap M[/mm] offen bzgl. [mm]M[/mm].
OK?
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Mo 26.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Wolfgang,
> OK?
Ja, Dankeschön!
Gruss
kushkush
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