metrischer Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Di 02.05.2006 | | Autor: | LenaFre |
| Aufgabe | Es sei (X,d) vollständiger metrischer Raum und Y [mm] \subset [/mm] X eine abgeschlossene Teilmenge. Dann ist [mm] (Y,d_{y}) [/mm] vollständig. Hierbei ist [mm] d_{y} [/mm] die induzierte Metrik.
Prüfen Sie nach, dass die Voraussetzungen für X=B([a,b]), Y=C([a,b]) und [mm] d(f,g)=sup_{x\in[a,b]} [/mm] |f(x)-g(x) | erfüsst sind, und folgern sie die Vollständigkeit von (C([a,b]),d). |
Hallo zusammen!
Bei der oben aufgeführten Aufgabenstellung komme ich gar nicht weiter.
Muss ich jetzt zeigen, dass (X,d) mit X=B([a,b]) und mit d(f,g)= [mm] sup_{x\in[a,b]} [/mm] | f(x)-g(x) |ein vollständiger metrischer Raum ist, dass Y [mm] \subset [/mm] X mit Y=C([a,b]) eine abgeschlossene Teilmenge davon ist. Und das dann [mm] (Y,d_{y}) [/mm] vollsändig ist?
Was genau bedeutet hierbei [mm] d_{y}?
[/mm]
Ich finde leidr gar keinen richtigen Ansatzpunkt, da ich schon schwierigkeite bei der Aufgabestellung habe.
Ich hoffe ihr könnt mir etwas weiterhelfen.
Vielen Dank Gruß Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Di 02.05.2006 | | Autor: | AT-Colt |
> Hallo zusammen!
> Bei der oben aufgeführten Aufgabenstellung komme ich gar
> nicht weiter.
Ich auch nicht ganz, habt ihr definiert, was $B([a,b])$ und $C([a,b])$ sind? Bei letzterem würde ich im Moment auf die Menge der auf $[a,b]$ stetigen Funktionen tippen, was B sein soll, weiss ich aber nicht.
> Muss ich jetzt zeigen, dass (X,d) mit X=B([a,b]) und mit
> d(f,g)= [mm]sup_{x\in[a,b]}[/mm] | f(x)-g(x) |ein vollständiger
> metrischer Raum ist, dass Y [mm]\subset[/mm] X mit Y=C([a,b]) eine
> abgeschlossene Teilmenge davon ist. Und das dann [mm](Y,d_{y})[/mm]
> vollsändig ist?
Genau das sollst Du. Du sollst zeigen, dass die Voraussetzungen von oben erfüllt sind und das Du dann die Aussage anwenden kannst, um auf die Vollständigkeit von [mm] $(Y,d_Y)$ [/mm] zu schließen.
> Was genau bedeutet hierbei [mm]d_{y}?[/mm]
[mm] $d_Y$ [/mm] ist die von $d = [mm] d_X$ [/mm] induzierte Norm auf $Y$, also in Funktionsschreibweise:
[mm] $d_X: [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR_{+}^{0}, [/mm] (f,g) [mm] \mapsto d_{X}(f,g)$
[/mm]
[mm] $d_Y: [/mm] Y [mm] \times [/mm] Y [mm] \to \IR_{+}^{0}, [/mm] (f,g) [mm] \mapsto d_{X}(f,g)$ [/mm] bzw
[mm] $d_Y [/mm] = [mm] d_{X}|_{Y \times Y}$
[/mm]
> Ich finde leidr gar keinen richtigen Ansatzpunkt, da ich
> schon schwierigkeite bei der Aufgabestellung habe.
Wenn Du noch sagst, was B und C sind, kann Dir womöglich besser geholfen werden, ich hoffe aber, dass ich Dir zumindest die Aufgabenstellung etwas klarer machen konnte.
> Ich hoffe ihr könnt mir etwas weiterhelfen.
> Vielen Dank Gruß Lena
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 03.05.2006 | | Autor: | LenaFre |
Ja ich hab jetzt auch rausgefunden, was B([a,b]) und C([a,b]) sind.
Wir haben B([a,b]) als die Menge der beschränkten Funktionen und C([a,b]) als die Menge de stetigen Funktionen, jeweil auf dem Intervall [a,b] definiert.
Leider finde ich immer noch keine richtige Herangehensweise!
Vielleicht kann mir jemand ja noch helfen, danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mi 03.05.2006 | | Autor: | trollg |
B([a,b]) ist vermutlich der Raum beschränkter reeller Funktionen, C([a,b]) der Raum stetiger reeller Funktionen jeweils auf [a,b]. Zuerst ist zu zeigen, dass B([a,b]) mit der Supremumsmetrik ein vollstaendiger metrischer Raum ist, d.h. dass Cauchyfolgen beschraenkter Funktionen in. der Supremumsmetrik gegen eine beschränkte Funktion konvergieren. Dann muss gezeigt werden, dass eine konvergente Folge stetiger Funktionen nicht nur gegen eine beschraenkte Funktion konvergiert, sondern dass diese Grenzfunktion stetig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 03.05.2006 | | Autor: | LenaFre |
Das klingt ja alles ganz schön aber ich hab gar keinen Plan, wie ich das mathematisch angehen soll, wie zeige ich das denn was du beschrieben hast! Den Sinn in dem Ganzen ist mir nicht klar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
> Das klingt ja alles ganz schön aber ich hab gar keinen
> Plan, wie ich das mathematisch angehen soll, wie zeige ich
> das denn was du beschrieben hast! Den Sinn in dem Ganzen
> ist mir nicht klar!
Fang doch erstmal mit dem vollstaendig an. Nimm dir eine Cauchy-Folge in $B([a, b])$. Wenn du nicht weisst was das ist schau dir die Definition an. Zeig erstmal, dass die Folge punktweise konvergiert und definiere eine Funktion als die Grenzfunktion. Dann zeige, dass die Funktionenfolge dagegen konvergiert. Und mach dir klar, dass die Konvergenz in Supremumsnorm gerade die gleichmaessige Konvergenz ist!
Fang doch mal an das aufzuschreiben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 03.05.2006 | | Autor: | LenaFre |
Es tut mir wirklich leid ich weiß echt nicht wie ich das machen soll! Ich versteh auch den ZUsammenhang nicht! Ich brauch wirklich Hilfe und will das auch verstehen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
> Es tut mir wirklich leid ich weiß echt nicht wie ich das
> machen soll! Ich versteh auch den ZUsammenhang nicht! Ich
> brauch wirklich Hilfe und will das auch verstehen!
Ok. Dann mal ganz vom Anfang an. $B([a, b])$ ist die Menge der Funktionen $f : [a, b] [mm] \to \IR$, [/mm] welche beschraenkt sind. Auf dieser Menge hast du die Supremumsmetrik: Sind $f, g [mm] \in [/mm] B([a, b])$, so wird ihr `Abstand' durch $d(f, g) = [mm] \sup_{x \in [a, b]} [/mm] |f(x) - g(x)|$ gegeben.
Jetzt hast du eine Cauchy-Folge [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] in $B([a, b])$, also fuer jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $f_n [/mm] : [a, b] [mm] \to \IR$ [/mm] eine beschraenkte Funktion, und es gilt ...
So. Jetzt schau mal nach, was eine Cauchy-Folge ist, und schreib das hier hin.
Wenn du das hingeschrieben hast, schau dir mal die Folge in einem festen Wert $x [mm] \in [/mm] [a, b]$ an. Kannst du etwas ueber die Folge [mm] $(f_n(x))_{n\in\IN}$ [/mm] der Funktionswerte [mm] $f_n(x)$ [/mm] aussagen? Was ist das fuer eine Folge (in welchem Raum), ist sie auch eine Cauchy-Folge, wenn ja, warum?
LG Felix
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