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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:46 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Ich möchte gern mal wissen, ob ich folgende Aufgaben richtig gelöst habe und wenn nicht, wo noch Korrekturbedarf besteht.
Für x,y [mm] \in \IR [/mm] und eine injektive Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] sei
d1(x,y):= [mm] \wurzel{ | x^{2}- y^{2} |}
[/mm]
[mm] d2(x,y):=\wurzel{ | x- y |^{3}}
[/mm]
d3(x,y):= | f(x)-f(y) |
Untersuchen Sie, ob [mm] (\IR [/mm] , [mm] d_{k}) [/mm] für k=1,2,3 ein metrischer Raum ist.
zu überprüfen sind dabei die 3 folgenden Axiome:
m1: x=y [mm] \gdw [/mm] d(x,y)=0
m2: d(x,y)=d(y,x)
m3: d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z)+d(z,y)
für d1:
m1 erfüllt, da [mm] d(x,y)=\wurzel{ | x^{2}- y^{2} |}=0 \Rightarrow [/mm] x=y, denn dann [mm] \wurzel{ | x^{2}- x^{2} |}=0 [/mm] oder y=x, denn dann [mm] \wurzel{ | y^{2}- y^{2} |}=0
[/mm]
m2 erfüllt, denn [mm] \wurzel{ | x^{2}- y^{2} |}=\wurzel{ | y^{2}- x^{2} |}, [/mm] also d(x,y)=d(y,x)
m3 erfüllt, denn [mm] d(x,y)=\wurzel{ | x^{2}- y^{2} |}=\wurzel{ | x^{2}- y^{2} +z^{2}- z^{2} |}
[/mm]
[mm] \le \wurzel{ | x^{2}- z^{2}|+ |z^{2} -y^{2} |}
[/mm]
[mm] \le \wurzel{ | x^{2}- z^{2}|} [/mm] + [mm] \wurzel{ | z^{2} -y^{2} |}
[/mm]
[mm] \le [/mm] d(x,z)+d(z,y) und ist damit metrischer Raum
für d2:
m1 erfüllt, denn [mm] d2(x,y):=\wurzel{ | x- y |^{3}}=0 \Rightarrow [/mm] x=y, denn dann [mm] \wurzel{ | x- y |^{3}}=\wurzel{ | x- x |^{3}}=0 [/mm] oder y=x, denn dann [mm] \wurzel{ | x- y |^{3}}=\wurzel{ | y- y |^{3}}=0
[/mm]
m2 erfüllt, denn [mm] \wurzel{ | x- y |^{3}}=\wurzel{ | y- x |^{3}}=0
[/mm]
m3 erfüllt, denn [mm] \wurzel{ | x- y |^{3}}=\wurzel{ | x- y +z-z |^{3}}
[/mm]
[mm] \le \wurzel{ | x-z|^{3} + | z-y |^{3}}
[/mm]
[mm] \le \wurzel{ | x-z|^{3}}+\wurzel{ | z-y |^{3}}
[/mm]
[mm] \le [/mm] d(x,z)+d(z,y) und damit metrischer Raum, allerdings bin ich mir hier nicht ganz so sicher, ich glaube, hier ist mir ein Fehler unterlaufen!
für d3:
m1 erfüllt, da d3(x,y):= | f(x)-f(y) | =0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=y, denn dann | f(x)-f(y) | =| f(x)-f(x) | =0 oder y=x, denn dann | f(y)-f(y) | =0
m2 erfüllt, denn | f(x)-f(y) | =| f(y)-f(x) |
m3 erfüllt, denn | f(x)-f(y) | =| f(x)-f(y) +f(z)-f(z) |
[mm] \le [/mm] | f(x)-f(z) +| f(z)-f(y) |
[mm] \le [/mm] d(x,z)+d(z,y) und ist damit metrischer Raum
danke fürs Durchsehen
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Di 06.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Franzie!
Hier ist so ziemlich alles falsch, leider. Ich will dir mal den grundlegend ersten Fehler aufzeigen, und dann versuchst du es noch einmal:
Was bedeutet denn die Bedingung
$d(x,y)=0 [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] x=y$ ?
Es bedeutet: Wenn der $d(x,y)=0$ ist, dann muss $x=y$ sein. Was du aber immer zeigst, ist folgendes: Wenn $x=y$ ist, dann gilt: $d(x,y)=0$. Dies ist genau die Umkehrung der Aussage, die aber nicht zu zeigen (sondern zumeist trivial) ist.
Bleiben wir mal im ersten Fall:
Wir müssen und überlegen, ob aus
$d(x,y) = [mm] \sqrt{|x^2-y^2|} [/mm] = 0$
tatsächlich $x=y$ folgt.
Aber dies ist offenbar nicht der Fall, denn es gilt ja zum Beispiel auch:
$d(1,-1) = [mm] \sqrt{|1^2 - (-1)^2|} [/mm] = [mm] \sqrt{|1-1|} [/mm] = [mm] \sqrt{0} [/mm] = 0$.
Klar? 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:14 Di 06.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Ah klar, ich hab die Implikation falsch herum betrachtet. Dann ist also
d(x,y):= [mm] \wurzel{ | x^{2}-y^{2} |} [/mm] kein metrischer Raum, weil die Bedingung d(x,y)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=y nicht erfüllt ist.
Nehme ich nun aber d2(x,y):= [mm] \wurzel{ | x-y |^{3}} [/mm] ist diese Bedingung doch aber erfüllt, außerdem d(x,y)=d(y,x), da [mm] \wurzel{ | x-y |^{3}} =\wurzel{ | y-x |^{3}}, [/mm] nur bei der Dreiecksungleichung weiß ich hier nicht weiter. Kann ich jetzt einfach ein z so einführen?
[mm] \wurzel{ | x-y +z-z |^{3}} [/mm] und wie kann ich das jetzt auseinandernehmen, damit ich zum Schluss d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z)+d(z,y) habe oder geht das hier gar nicht, weil es kein metrischer Raum ist?
Bei d3:=|f(x)-f(y)| wäre doch d(x,y)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=y erfüllt und auch d(x,y)=d(y,x), da |f(x)-f(y)| = |f(y)-f(x)| oder? Und hier würde ich dann die Dreiecksungleichung wie folgt anwenden:
|f(x)-f(y)| =|f(x)-f(y)+f(z)-f(z)| [mm] \le [/mm] |f(x)-f(z)| +|f(z)-f(y)| [mm] \le [/mm] d(x,z)+d(z,y)
und ist daher metrischer Raum, oder?
liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 So 11.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Franzie!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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