metrische Räume / Konvergenz < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 22.11.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Sei (M,d) ein metrischer Raum. Definiere eine Funktion d': M [mm] \times [/mm] M [mm] \to \IR [/mm] durch:
d'(x,y)= d(x,y) / (1+d(x,y))
Zeigen Sie:
(a) (M,d') ist ein metrischer Raum.
(b) Eine Folge [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] in M konvergiert genau dann bezüglich d gegen a [mm] \in [/mm] M, wenn sie bezüglich d' gegen a konvergiert. |
zu (a)
die ersten beiden Kriterien für metrische Räume (d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0; d(x,y) = 0 wenn x=y) und (d(x,y)=d(y,x)) hab ich ganz gut hinbekommen, nur das 3. Kriterium, also d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,z) versteh ich irgendwie nicht so ganz.
zu (b)
was soll dieses bezüglich d bzw. bezüglich d' bedeuten?
Ich bin für jeden Tipp dankbar, auch für Lösungsvorschläge/-ansätze
Gruß Smex
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Guten Tach
Also zu zeigen ist die Dreiecksungleichung für Metriken
[mm] d'(x,z)=\bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)}. [/mm] Nun verwenden wir das d eine Metrik ist also für d gilt die dreiecksungleichung [mm] d'(x,z)=\bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)} \le \bruch{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)}. [/mm] Zähler und Nenner wurden hier gleichermaßen vergrößert. Dann den Bruch auseinanderschreiben und benutzten das d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0 ist(Was passiert wenn du den Nenner verkleinerst?). Dann solltest du das hinbekommen.
zu b)
Zuerst einmal: Was heißt das wenn eine folge [mm] a_{n} [/mm] gegen einen Punkt a konvergiert. Schau mal in der Definition des Grenzwertes nach!. (Da war was mit [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \epsilon) [/mm] Was heißt das für die Metrik. Musst du zeigen
dass wenn das für d gilt dann gilt das auch für d'.
Einen schönen Tag noch
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