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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mi 30.04.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Sei A [mm] \subset \IR^n [/mm] abgeschlossen, K [mm] \subset \IR^n [/mm] kompakt, K [mm] \cap [/mm] A = [mm] \emptyset. [/mm] Zeigen Sie:
a) die Abstandfkt. x [mm] \rightarrow d(x,A):=inf\{||x-a||;a \in A\} [/mm] ist stetig auf [mm] \IR^n.
[/mm]
b) Es gibt ein b [mm] \in [/mm] A so, dass d(x,A)=||x-b||. Das obige Infimum ist also Minimum.
c) Es gibt ein q [mm] \in [/mm] K und ein c [mm] \in [/mm] A mit
[mm] d(K,A):=inf\{d(x,A);x \in K\}=d(q,A)=||q-c||(>0).
[/mm]
d) Gebe ein Beispiel abgeschlossene Mengen A,B [mm] \subset \IR^2 [/mm] mit A [mm] \cap [/mm] B [mm] =\emptyset [/mm] und d(B,A)=0 |
hallo zusammen,
ich hoffe ihr könnt mir bei dieser aufgabe helfen, da nicht genau weiß wie ich an die aufgabe herangehen soll.
zu d) wäre meine idee:
A=[0,1] und B=[2,3], A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] und d(1,0)=1 und d(3,2)=1
daher d(B,A)=1
ist es richtig?
in der voraussetzung: A [mm] \subset \IR^n [/mm] abgeschlossen, d.h es gibt eine folge [mm] (x_k)_{k \in \IN} [/mm] die gegen ein Pkt konv. die in [mm] \IR^n [/mm] liegt, konv.. K [mm] \subset \IR^n [/mm] ist kompakt, d.h für jede folge [mm] (y_k)_{k \in \IN} [/mm] gibt es Teilfolge [mm] y_k_l [/mm] die gegen ein y in K konv.
ergibt sich daher auch [mm] K\cap [/mm] A [mm] =\emptyset [/mm] ?
ich brache dringend hilfe, kann mir jemand einen starthilfen geben? dankeschön im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Do 01.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei A [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen, K [mm]\subset \IR^n[/mm] kompakt,
> K [mm]\cap[/mm] A = [mm]\emptyset.[/mm] Zeigen Sie:
>
> a) die Abstandfkt. x [mm]\rightarrow d(x,A):=inf\{||x-a||;a \in A\}[/mm]
> ist stetig auf [mm]\IR^n.[/mm]
>
> b) Es gibt ein b [mm]\in[/mm] A so, dass d(x,A)=||x-b||. Das obige
> Infimum ist also Minimum.
>
> c) Es gibt ein q [mm]\in[/mm] K und ein c [mm]\in[/mm] A mit
> [mm]d(K,A):=inf\{d(x,A);x \in K\}=d(q,A)=||q-c||(>0).[/mm]
>
> d) Gebe ein Beispiel abgeschlossene Mengen A,B [mm]\subset \IR^2[/mm]
> mit A [mm]\cap[/mm] B [mm]=\emptyset[/mm] und d(B,A)=0
> hallo zusammen,
>
> ich hoffe ihr könnt mir bei dieser aufgabe helfen, da
> nicht genau weiß wie ich an die aufgabe herangehen soll.
>
> zu d) wäre meine idee:
> A=[0,1] und B=[2,3], A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset[/mm] und d(1,0)=1 und
> d(3,2)=1
> daher d(B,A)=1
Du sollst doch ein Beispiel mit d(A,B)=0 angeben !!!
>
> ist es richtig?
>
> in der voraussetzung: A [mm]\subset \IR^n[/mm] abgeschlossen, d.h es
> gibt eine folge [mm](x_k)_{k \in \IN}[/mm] die gegen ein Pkt konv.
> die in [mm]\IR^n[/mm] liegt, konv.. K [mm]\subset \IR^n[/mm] ist kompakt, d.h
> für jede folge [mm](y_k)_{k \in \IN}[/mm] gibt es Teilfolge [mm]y_k_l[/mm]
> die gegen ein y in K konv.
>
> ergibt sich daher auch [mm]K\cap[/mm] A [mm]=\emptyset[/mm] ?
Nein. [mm]K\cap[/mm] A [mm]=\emptyset[/mm] ist eine der Voraussetzungen !!!
FRED
>
> ich brache dringend hilfe, kann mir jemand einen
> starthilfen geben? dankeschön im voraus.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:18 Do 01.05.2014 | | Autor: | knowhow |
ich habe mich mal an a) heranversucht:
ich habe erstmal gezeigt |d(x,A)-d(y,A)| [mm] \le [/mm] ||x-y||
Sei d(x,A)=inf [mm] \{||x-a||; a\in A \} [/mm] und d(y,A)=inf [mm] \{||y-a||; a \in A\}
[/mm]
dann ||x-a|| [mm] \le [/mm] ||x-y||+||y-a||
||x-a||-||y-a|| [mm] \le [/mm] ||x-y||
d(x,A)- ||y-a|| [mm] \le [/mm] ||x-y|| (*)
(*) Sei d(y,A)=inf [mm] \{||y-a||; a \in A\}
[/mm]
dann ex. eine folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} \in [/mm] A mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||y-a_n||=d(y,A)
[/mm]
wegen d(x,A)-||y-a|| [mm] \le [/mm] ||x-y|| [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A
gilt d(x,A) - [mm] ||y-a_n|| \le [/mm] ||x-y||
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(d(x,A)-||y-a_n||) \le [/mm] ||x-y||
[mm] d(x,A)-(\limes_{n\rightarrow\infty}||x-a_n||) \le [/mm] ||x-y||
[mm] \Rightarrow [/mm] d(x,A)-d(y,A) [mm] \le [/mm] ||x-y||
analog für ||y-a|| [mm] \le [/mm] ||y-x||+||x-a||
||y-a||-||x-a|| [mm] \le [/mm] ||y-x||
d(y,A)-d(x-a) [mm] \le [/mm] ||x-y||
[mm] \Rightarrow [/mm] |d(x,A)-d(y,A)| [mm] \le [/mm] ||x-y||
Es ex. [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Wähle [mm] \delta=\varepsilon, [/mm] dann gilt
|d(x,A)-d(y,A)| [mm] \le [/mm] ||x-y|| < [mm] \delta =\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] d(x,A) stetig.
dann zu c) z.z d(K,A)>0
Sei d(K,A)=d(q,A)=||q-c||=0,, dann ex. [mm] (q_n,c_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] q_n \in [/mm] K, [mm] c_n \in [/mm] A und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||q_n-c_n||=0
[/mm]
betrachte [mm] (q_n)_{n \in \IN} \in [/mm] K. da K kompakt, gibt es zu [mm] q_n [/mm] Teilfolge [mm] (q_n_l) [/mm] mit [mm] \limes_{l\rightarrow\infty}(q_n_l)= [/mm] q [mm] \in [/mm] K
q [mm] \in [/mm] K, da aber K [mm] \cap [/mm] A = [mm] \emptyset [/mm] ist q [mm] \not\in [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] d(K,A)>0
ist meine vorangehensweise richtig ? könnt ihr bei den anderen ein tipp geben? danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 03.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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