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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:39 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | Welche der Folgenden Aussagen ist korrekt (1 richtig) und versuche diese zu beweisen:
a.)
Sei E eine messbare Menge mit |E| < 1. Für jedes
[mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine kompakte Menge K [mm] \subset [/mm] E existiert, so dass |E \ K| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Sei nun M [mm] \subset \IR^{n} [/mm] Lebesgues-massbar und beschränkt
b.)
zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert eine offene Menege U [mm] \subset [/mm] M mit [mm] \lambda(M [/mm] \ [mm] U)<\varepsilon
[/mm]
c.)
zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert eine kompakte Menge K [mm] \supset [/mm] M mit [mm] \lambda(K [/mm] \ [mm] M)<\varepsilon
[/mm]
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Hallo habe da ein Teil von meiner Übungsaufgabe und habe ein kleines Problem!
also ich weiß dass die a.) richtig ist, vielleicht könnt ihr meinen Beweis anschauen und sagen ob er stimmt. Aber der müsste eigentlich passen... 
Aber ich habe ein Problem mit b.) und c.) und zwar finde ich keine Gegenbeispiel, ist zwar nicht sinn und zweck der Aufgabe aber ich möchte es gerne Wissen bzw. ein Gegenbeispiel haben, aber mir fällt echt keines ein :-(
Also vielleicht helft ihr mir wäre super
aber erst mal noch der Beweis zu der a.)
Wir nehmen zuerst an, dass E beschränkt ist. Dann gibt
es eine kompakte Menge C mit [mm] E\subsetC.Da [/mm] messbare Mengen von oben durch offene Mengen approximiert werden können, finden wir zu beliebiegem [mm] \varepsilon> [/mm] 0 eine offene
Menge O mit C \ E [mm] \subset [/mm] O und |O|−|C \ E| < [mm] \varepsilon. [/mm] Da wir |E| < 1, folgt |O|+|E|−|C| < [mm] \varepsilon. [/mm] Wir definieren nun K := C \ O. Diese Menge ist als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge kompakt. Ausserdem gilt K [mm] \subset [/mm] E und C [mm] \subset [/mm] K [mm] \cup [/mm] O. Daher können wir schliessen, dass |C| [mm] \le [/mm] |K [mm] \cup [/mm] O| [mm] \le [/mm] |K| + |O| < |K| + |C| − |E| + [mm] \varepsilon. [/mm] Da alle auftretenden Mengen endliches Mass haben, folgt |E \ K| = |E|−|K| < [mm] \varepsilon. [/mm] Dies ist die Behauptung.
Sei nun E beliebig mit endlichem Mass. Wir verwenden hierfür Aufgabe 12.2. Dann finden wir eine kompakte Menge K [mm] \subset [/mm] E mit |E| < |K| + [mm] \varepsilon. [/mm] Da E endliches Mass hat, können wir dies umschreiben in |E \ K| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mo 11.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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