meromorph und Kurventintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | a) Ist die Funktion [mm] f(z) = \bruch{sin(\pi z)}{sin(\pi z^2)} [/mm] meromorph?
b) Für [mm] t \in [0,2\pi] [/mm] seit [mm] \gamma (t) = \bruch{11}{10} e^{it} [/mm]. Berechnen Sie [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} [/mm]. |
Hallo Leute,
zu a)
Eigentlich müsste doch rein argumentativ für die Aufgabe einfach gelten, dass die Funktion meromorph ist, da ja sowohl der Nenner als auch der Zähler für sich allein holomorph sind, somit wäre dann der Quotient von beidem meromorph.
zu b)
Habt ihr einen Hinweis, wie ich daran gehen kann? Habe schon versucht, f(z) durch die Eulerformle umzuschreiben, aber das bringt mit keine Erleichterung. Habe den Tipp bekommen es mit der Reihendarstellung zu versuchen, aber ich weiß nicht, wie die einzelnen Reihen davon aussehen =(
Kenne zwar die normale Potenzreihen-schreibweise von sin(z) aber wie erweitere ich das auf [mm] sin(\pi z) [/mm] und [mm] sin(\pi z^2) [/mm] ?
Ich benötige da auf jeden Fall eine Vereinfachung von f(z), da ich hier ja dann das Kurvenintegral darüber bestimmen soll mit einem gegeben Weg. das kann ich ja schlecht in diese Sinusgeschichte einsetzen...
Viele Grüße,
Katthi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Mi 03.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) Ist die Funktion [mm]f(z) = \bruch{sin(\pi z)}{sin(\pi z^2)}[/mm]
> meromorph?
> b) Für [mm]t \in [0,2\pi][/mm] seit [mm]\gamma (t) = \bruch{11}{10} e^{it} [/mm].
> Berechnen Sie [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} [/mm].
> Hallo
> Leute,
>
> zu a)
> Eigentlich müsste doch rein argumentativ für die Aufgabe
> einfach gelten, dass die Funktion meromorph ist, da ja
> sowohl der Nenner als auch der Zähler für sich allein
> holomorph sind, somit wäre dann der Quotient von beidem
> meromorph.
Das ist etwas schlampig ausgedrückt. Der Quotient zweier ganzer Funktionen ist meromorph auf [mm] \IC.
[/mm]
Aber wahrscheinlich sollst Du so nicht argumentieren.
Bestimme die isolierten Singularitäten von f und zeige , dass siekeine wesentlichen Singularitäten sind.
>
> zu b)
> Habt ihr einen Hinweis, wie ich daran gehen kann?
Residuensatz
FRED
> Habe
> schon versucht, f(z) durch die Eulerformle umzuschreiben,
> aber das bringt mit keine Erleichterung. Habe den Tipp
> bekommen es mit der Reihendarstellung zu versuchen, aber
> ich weiß nicht, wie die einzelnen Reihen davon aussehen =(
> Kenne zwar die normale Potenzreihen-schreibweise von sin(z)
> aber wie erweitere ich das auf [mm]sin(\pi z)[/mm] und [mm]sin(\pi z^2)[/mm]
> ?
> Ich benötige da auf jeden Fall eine Vereinfachung von
> f(z), da ich hier ja dann das Kurvenintegral darüber
> bestimmen soll mit einem gegeben Weg. das kann ich ja
> schlecht in diese Sinusgeschichte einsetzen...
>
>
> Viele Grüße,
> Katthi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:27 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Katthi |
Danke für deine schnelle Antwort.
Hmm aber wie bestimme ich denn die ganzen SIngularitäten?
Ich muss ja schauen, wann der sin null wird, das ist der Fall, wenn [mm] z = \pm \wurzel{n} [/mm] ist, für [mm] n \in \IN[/mm].
Wesentliche Singularitäten liegen vor, wenn [mm] \limes_{z\rightarrowz_0} (z-z_0)^n f(z) [/mm] nich existiert.
Aber wie wende ich dies denn an? für unendlich viele Singularitäten?
und bei b müsste ich dann schauen, welche singularitäten in meiner Kurve liegen, das dürften ja nicht so viele sein bei dem kleinen Radius, die ich dan ganz normal über den Residuensatz bestimme ja?! bzw. dürfte es dann nicht nur eine sein, weil doch auch der komplexe sinus nur reelle nullstellen hat? also müsste das doch nur die für z = 1 sein??
Aber moment, dann wäre für z = 1 ja auch der Zähler Null, das geht ja dann auch nicht, oder?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Do 04.10.2012 | | Autor: | Katthi |
Hallo nochmal,
also ich habe da jetzt nochmal rumgerechnet und mir einfach mal angeschaut, was passiert, wenn man sich den Singularitäten annähert. dies habe ich für ein paar explizite Werte gemacht und dabei kam dann raus, dass jeweils Polstellen oder hebbare Singularitäten vorliegen, d.h. entweder ist der Grenzwert unendlich oder strebt gegen einen festen Wert.
Aber ich weiß nicht, wie ich das allgemein zeigen soll....
So und wenn ich jetzt zumindest für diese Werte schonmal weiß, dass es keine wesentlichen Singularitäten sind, bedeutet dies dann, dass die Funktion meromorph ist?
Und bei der zweiten Teilaufgabe müsste ich ja nun nur die Stellen 0 und 1 betrachten, da alle anderen außerhalb des Weges liegen, aber wenn ich da versuche die Residuen zu berechenen erhalte ich jeweils 0.
Irgendwas mache ich doch extrem falsch?!?!
Vielleicht hat ja jemand noch eine Idee für mich?
Viele Grüße,
Katthi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Do 04.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katthi!
> Hallo nochmal,
>
> also ich habe da jetzt nochmal rumgerechnet und mir einfach
> mal angeschaut, was passiert, wenn man sich den
> Singularitäten annähert. dies habe ich für ein paar
> explizite Werte gemacht und dabei kam dann raus, dass
> jeweils Polstellen oder hebbare Singularitäten vorliegen,
Richtig.
> d.h. entweder ist der Grenzwert unendlich oder strebt gegen
> einen festen Wert.
> Aber ich weiß nicht, wie ich das allgemein zeigen
> soll....
Wie du schon festgestellt hast, geht es nur um die Punkte, in denen der Nenner 0 wird, also [mm] $z=\pm\sqrt{n}$, $n\in \IN$. [/mm]
Alle Nullstellen des Nenners sind von der Ordnung 2. Im Punkt z=0 ist das einfach zu sehen: die Sinusfunktion hat im Punkt 0 eine einfache Nullstelle, also gilt in einer Umgebung von 0:
[mm] \sin z = z h(z) [/mm], [mm] $h(z)\not=0$ [/mm] holomorph.
Damit ist in dieser Umgebung von 0:
[mm] \sin(\pi z^2) = \pi z^2 h(\pi z^2) [/mm] .
Also liegt eine Nullstelle 2. Ordnung vor.
Da die Sinusfunktion periodisch ist, gilt dies auch für alle anderen Nullstellen (das folgt direkt aus [mm] $\sin [/mm] z = [mm] \sin(z+2k\pi)$.
[/mm]
Analog hat der Zähler bei allen $z=m$, [mm] $m\in\IZ$ [/mm] eine einfache Nullstelle.
Nun kommen doch nur zwei Fälle vor:
(a) Der Nenner hat eine Nullstelle, der Zähler nicht. Dann liegt ein Pol 2. Ordnung vor.
(b) Zähler und Nenner haben eine Nullstelle. Die Nullstellenordnung des Zählers ist 1, die des Nenners 2, also handelt sich um einen Pol 1. Ordnung.
> So und wenn ich jetzt zumindest für diese Werte schonmal
> weiß, dass es keine wesentlichen Singularitäten sind,
> bedeutet dies dann, dass die Funktion meromorph ist?
Ja, da du weisst, dass alle Polstellen isolierte Polstellen sind.
> Und bei der zweiten Teilaufgabe müsste ich ja nun nur die
> Stellen 0 und 1 betrachten, da alle anderen außerhalb des
> Weges liegen,
1. was ist mit dem Punkt -1 ?
2. Am Punkt 0 ist das Residuum nicht 0.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Do 04.10.2012 | | Autor: | Katthi |
wow du bist meine absolute Rettung =)
also bedeutet das, dass ich ja gezeigt habe, dass die Nullstellen des Nenners entweder Pole 1. oder 2. Ordnung sind, somit keine wesentlichen Singularitäten und somit ist f(z) meromorph, oder?
Ja -1 muss ich natürlich auch betrachten. ah hab vergessen zu beachten, dass z=0 ja ein Pol 2. Ordnung ist. somit würde ich als Residuum [mm] \pi [/mm] erhalten, oder kann ich das so nicht machen?
habe jetzt [mm] sin'(\pi *0) [/mm] verwendet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Do 04.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katthi!
> wow du bist meine absolute Rettung =)
>
> also bedeutet das, dass ich ja gezeigt habe, dass die
> Nullstellen des Nenners entweder Pole 1. oder 2. Ordnung
> sind, somit keine wesentlichen Singularitäten und somit
> ist f(z) meromorph, oder?
Ja, wobei noch wichtig ist, dass alle diese Pole isoliert sind, d.h. keinen Häufungspunkt haben.
> Ja -1 muss ich natürlich auch betrachten. ah hab vergessen
> zu beachten, dass z=0 ja ein Pol 2. Ordnung ist. somit
Nein, alle drei sind Pole 1. Ordnung.
> würde ich als Residuum [mm]\pi[/mm] erhalten, oder kann ich das so
> nicht machen?
> habe jetzt [mm]sin'(\pi *0)[/mm] verwendet.
Ich bin mir nicht sicher, was du gerechnet hast. ich würde es so machen: in meinem vorherigen Post habe ich hergeleitet, dass in einer Umgebung von 0 gilt:
[mm] \sin(z) = z*h(z) [/mm] mit h holomorph mit $h(0)=1$.
(Letzteres z.B durch Bestimmung des Grenzwertes [mm] $\limes_{z\to 0}\bruch{\sin z}{z}$ [/mm] oder durch Ableiten: [mm] $\sin'(z) [/mm] = h(z)+zh'(z)$, woraus $h(0)=1$ folgt.)
Also ist in so einer Umgebung
[mm] \bruch{\sin(\pi z)}{\sin(\pi z^2) } = \bruch{\pi z h(\pi z)}{\pi z^2 h(\pi z^2)} = \bruch{1}{z} \bruch{h(\pi z)}{h(\pi z^2)} [/mm] .
Damit siehst du schonmal, dass es ein Pol 1. Ordnung ist. Damit ist das Residuum
[mm]\limes_{z\to 0} \left( z* \bruch{\sin(\pi z)}{\sin(\pi z^2) }\right) = \limes_{z\to 0} \bruch{h(\pi z)}{h(\pi z^2)} = 1 [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Do 04.10.2012 | | Autor: | Katthi |
Ja das mit 1. Ordnung ist mir auch aufgefallen, da ja 0 auch eine Nullstelle vom Zähler ist. Hast du ja erklärt.
Das mit dieser Funktion h, habe ich bisher noch nie gesehen, aber das macht das ganze wirklich ziemlich übersichtlich und nachvollziehbar.
Vielen Dank für deine Hilfe, endlich lässt mich die Aufgabe los =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 04.10.2012 | | Autor: | Katthi |
Und doch noch eine Frage.
und zwar wie berechne ich denn dann korrekt die Residuen an z= 1 und z= -1 .
Die habe ich dann wahrscheinlich ja auch formal nicht korrekt berechnet.
Aber da geht das ja nicht mit dem h(z) weil ich ja für cos(1) was hässliches bekomme....
oder genügt hier:
[mm] \limes_{z\rightarrow 1} (z-1) \bruch{sin(\pi z)}{sin(\pi z^2)} [/mm]
wo man dann Null erhält?
|
|
|
| |
|
Hallo Katthi,
> Und doch noch eine Frage.
> und zwar wie berechne ich denn dann korrekt die Residuen
> an z= 1 und z= -1 .
> Die habe ich dann wahrscheinlich ja auch formal nicht
> korrekt berechnet.
> Aber da geht das ja nicht mit dem h(z) weil ich ja für
> cos(1) was hässliches bekomme....
>
> oder genügt hier:
> [mm]\limes_{z\rightarrow 1} (z-1) \bruch{sin(\pi z)}{sin(\pi z^2)}[/mm]
>
Die Nullstelle 1 des Nenners ist doch nur einfach.
Da 1 ebenfalls einfache Nullstelle des Zählers ist,
ist dieser Pol hebbar.
> wo man dann Null erhält?
Gruss
MathePower
|
|
|
|
