mehrmalige partielle Intergration < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich hab Probleme bei einer Aufgabe die mit Hilfe zweimaliger partieller Integration zu lösen sein soll.
[mm] \integral_{}^{} {e^x \cdot cos (x) dx}
[/mm]
Die erste partielle Integration hab ich so gemacht:
[mm] u(x)=e^x [/mm] , v'(x)=cos x , [mm] u'(x)=e^x [/mm] , v(x)=sin x
[mm] \integral_{}^{} {e^x \cdot cos (x) dx} [/mm] = [mm] e^x \cdot [/mm] sin x [mm] \cdot \integral_{}^{} {e^x \cdot sin (x) dx}
[/mm]
Ist die erste Integration so richtig? Jetzt hab ich noch eine ganze Menge andere Integrationen gemacht, aber ich bekomme keine Form welche mit dem im Lösungsverzeichnis angegebene Stammintegral übereinstimmt.
Ergebnis soll sein:
[mm] F(x)=\bruch{1}{2} \cdot [/mm] (sin x + cos x)+C
Irgendwelche Lösungstips?
Gruß
Andreas
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Hi
>ich hab Probleme bei einer Aufgabe die mit Hilfe zweimaliger partieller Integration zu lösen sein soll.
>Jetzt hab ich noch eine ganze Menge andere Integrationen gemacht, aber ich bekomme keine Form welche mit dem im >Lösungsverzeichnis angegebene Stammintegral übereinstimmt.
Ja, da ist der Hund begraben !
Wenn du 2-mal Integrierst, so wie du es versucht hast, bekommst du auch keine andere Form:
sin -> cos -> sin
e -> e -> e
>Irgendwelche Lösungstips?
Die Lösung: Phönix aus der Asche !
$ [mm] \integral_{}^{} {e^x \cdot cos(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] e^x \cdot [/mm] sin(x) $ - $ [mm] \integral_{}^{} {e^x \cdot sin(x) dx} [/mm] $
$ [mm] \integral_{}^{} {e^x \cdot sin(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] -e^x \cdot [/mm] cos(x) $ + $ [mm] \integral_{}^{} {e^x \cdot cos(x) dx} [/mm] $
Einsetzen ergibt:
$ [mm] \integral_{}^{} {e^x \cdot cos(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] e^x \cdot [/mm] sin(x) $ + $ [mm] e^x \cdot [/mm] cos(x) $ - $ [mm] \integral_{}^{} {e^x \cdot cos(x) dx} [/mm] $
Umformen:
$ 2 [mm] \cdot \integral_{}^{} {e^x \cdot cos(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] e^x \cdot [/mm] sin(x) + [mm] e^x \cdot [/mm] cos(x) $
Lösung :
$ [mm] \integral_{}^{} {e^x \cdot cos(x) dx} [/mm] $ = [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] ( $ [mm] e^x \cdot [/mm] sin(x) + [mm] e^x \cdot [/mm] cos(x) $ ) + C
Der Name bezeichnet die Technik, auf die Lösung schliessen zu können ohne das Integral wirklich direkt berechnet zu haben.
cu
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