mehrdimensionale Taylorformel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Sa 01.11.2008 | | Autor: | pape |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion
[mm] f:R²\rightarrow [/mm] R, [mm] (x_1, x_2) \mapsto x_1^2x_2+sin(x_1-x_2)
[/mm]
an der Stelle [mm] x^0=(\pi,\frac{\pi}{2})^T
[/mm]
bis zur zweiten Ordnung. |
Meine Frage habe ich gestern Mittag bereits dort gestellt, aber leider keine Antwort erhalten:
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=377237
----
Als Taylorformel habe ich das (x ist Vektor):
[mm] f:D\subset R^n\rightarrow [/mm] R
[mm] x_0 \in [/mm] D°
[mm] B_r(x_0)\subset [/mm] D wobei x [mm] \in B_r(x_0) [/mm] und f in [mm] B_r(x_0) [/mm] stetige partielle Ableitungen bis zur Ordnung m besitzt.
[mm] \alpha [/mm] ist ein Multiindex.
[mm] f(x)=\sum_{k=0}^{m-1}\sum_{\mid \alpha \mid=k } \frac{1}{\alpha !}D^{\alpha}f(x_0)(x-x_0)^\alpha+\int_{0}^{1}m(1-t)^{m-1}\frac{1}{\alpha !}\sum_{\mid \alpha \mid=m}D^{\alpha}f(x_0+t(x-x_0))\frac{(x-x_0)^\alpha}{\alpha !}dt
[/mm]
Das ab dem Integral ist denke ich das Restglied, welches mich für die Aufgabe nicht weiter interessieren braucht?!
Ich schlüssel nun mal die Summe auf.
Für k=0 muss [mm] \mid\alpha\mid=0, [/mm] also [mm] \mid\alpha\mid=\sum_i^n\alpha_i=0\Rightarrow \alpha=(0,0)
[/mm]
Es gibt also nur eine Möglichkeit für [mm] \alpha [/mm] und die innere Summe hat nur diesen einen Summanden:
[mm] \frac{1}{1}D^{(0,0)}f((\pi,\frac{\pi}{2}))((x_1,x_2)-(\pi,\frac{\pi}{2}))
[/mm]
Die 0te Ableitung ändert ja erstmal nichts, also hat man
[mm] f((\pi,\frac{\pi}{2}))((x_1,x_2)-(\pi,\frac{\pi}{2}))
[/mm]
[mm] =(\pi^2*\frac{\pi}{2}+sin(\pi-\frac{\pi}{2}))*((x_1,x_2)-(\pi,\frac{\pi}{2}))
[/mm]
[mm] =\frac{\pi^3+2}{2}*(x_1-\pi,x_2-\frac{\pi}{2})
[/mm]
wobei mir dieser Schritt eigentlich nicht so ganz klar ist.. ich verstehe das [mm] D^{(0,0)}f(..) [/mm] nicht.
Ich kenne
[mm] D^{\alpha}f=\partial_{x_1}^{\alpha_1}\dots\partial_{x_n}^{\alpha_n}f
[/mm]
aber was ist ein solches [mm] \partial_{x_i}^{\alpha_i} [/mm] ?
Die [mm] \alpha_i-te [/mm] Ableitung nach der i-ten Variable?
Falls ja, dann würde für n=2 [mm] D^{(\alpha_1,\alpha_2)}f [/mm] ein Produkt der verschiedenen Ableitungen sein, oder wie habe ich das zu verstehen?
Ist der Ansatz für die Entwicklung ansonsten richtig oder bin ich schon irgendwo auf dem Holzweg?
weitere Fragen könnten dann folgen :)
Danke!
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Hallo pade,
> Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion
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> [mm]f:R²\rightarrow[/mm] R, [mm](x_1, x_2) \mapsto x_1^2x_2+sin(x_1-x_2)[/mm]
>
> an der Stelle [mm]x^0=(\pi,\frac{\pi}{2})^T[/mm]
>
> bis zur zweiten Ordnung.
> Meine Frage habe ich gestern Mittag bereits dort gestellt,
> aber leider keine Antwort erhalten:
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=377237
>
> ----
>
> Als Taylorformel habe ich das (x ist Vektor):
>
> [mm]f:D\subset R^n\rightarrow[/mm] R
> [mm]x_0 \in[/mm] D°
> [mm]B_r(x_0)\subset[/mm] D wobei x [mm]\in B_r(x_0)[/mm] und f in [mm]B_r(x_0)[/mm]
> stetige partielle Ableitungen bis zur Ordnung m besitzt.
> [mm]\alpha[/mm] ist ein Multiindex.
>
> [mm]f(x)=\sum_{k=0}^{m-1}\sum_{\mid \alpha \mid=k } \frac{1}{\alpha !}D^{\alpha}f(x_0)(x-x_0)^\alpha+\int_{0}^{1}m(1-t)^{m-1}\frac{1}{\alpha !}\sum_{\mid \alpha \mid=m}D^{\alpha}f(x_0+t(x-x_0))\frac{(x-x_0)^\alpha}{\alpha !}dt[/mm]
>
> Das ab dem Integral ist denke ich das Restglied, welches
> mich für die Aufgabe nicht weiter interessieren braucht?!
>
> Ich schlüssel nun mal die Summe auf.
>
> Für k=0 muss [mm]\mid\alpha\mid=0,[/mm] also
> [mm]\mid\alpha\mid=\sum_i^n\alpha_i=0\Rightarrow \alpha=(0,0)[/mm]
>
> Es gibt also nur eine Möglichkeit für [mm]\alpha[/mm] und die innere
> Summe hat nur diesen einen Summanden:
>
> [mm]\frac{1}{1}D^{(0,0)}f((\pi,\frac{\pi}{2}))((x_1,x_2)-(\pi,\frac{\pi}{2}))[/mm]
>
> Die 0te Ableitung ändert ja erstmal nichts, also hat man
> [mm]f((\pi,\frac{\pi}{2}))((x_1,x_2)-(\pi,\frac{\pi}{2}))[/mm]
>
Das stimmt nicht ganz:
[mm]f(\pi,\frac{\pi}{2})\left(x_{1}-\pi\right)^{\blue{0}}\left(x_{1}-\bruch{\pi}{2}\right)^{\blue{0}}=f(\pi,\frac{\pi}{2})[/mm]
> [mm]=(\pi^2*\frac{\pi}{2}+sin(\pi-\frac{\pi}{2}))*((x_1,x_2)-(\pi,\frac{\pi}{2}))[/mm]
> [mm]=\frac{\pi^3+2}{2}*(x_1-\pi,x_2-\frac{\pi}{2})[/mm]
>
> wobei mir dieser Schritt eigentlich nicht so ganz klar
> ist.. ich verstehe das [mm]D^{(0,0)}f(..)[/mm] nicht.
[mm]D^{\left(0,0\right)}f\left(\pi,\bruch{\pi}{2}\right)=\bruch{\partial^{0+0} f}{\partial x_{1}^{0}\partial x_{2}^{0}}\left|_{\left(\pi,\bruch{\pi}{2}\right)}=f(\pi,\frac{\pi}{2})[/mm]
>
> Ich kenne
>
> [mm]D^{\alpha}f=\partial_{x_1}^{\alpha_1}\dots\partial_{x_n}^{\alpha_n}f[/mm]
>
> aber was ist ein solches [mm]\partial_{x_i}^{\alpha_i}[/mm] ?
> Die [mm]\alpha_i-te[/mm] Ableitung nach der i-ten Variable?
Ja.
>
> Falls ja, dann würde für n=2 [mm]D^{(\alpha_1,\alpha_2)}f[/mm] ein
> Produkt der verschiedenen Ableitungen sein, oder wie habe
> ich das zu verstehen?
Das ist etwas anders:
[mm]D^{\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right)}f\left(\pi,\bruch{\pi}{2}\right)=\bruch{\partial^{\alpha_{1}+\alpha_{2}} f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\partial x_{2}^{\alpha_{2}}}\left|_{\left(\pi,\bruch{\pi}{2}\right)}=\left(\bruch{\partial ^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}}\left(\bruch{\partial ^{\alpha_{2}}}{\partial x_{2}^{\alpha_{2}}} f \right)\right)\left|_{\left(\pi,\bruch{\pi}{2}\right)}\right=\left(\bruch{\partial ^{\alpha_{2}}}{\partial x_{2}^{\alpha_{2}}}\left(\bruch{\partial ^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}} f \right)\right)\left|_{\left(\pi,\bruch{\pi}{2}\right)}\right[/mm]
Zunächst wird f [mm]\alpha_{2}[/mm]-mal nach [mm]x_{2}[/mm] abgeleitet.
Und dann [mm]\alpha_{1}[/mm]-mal nach [mm]x_{1}[/mm] abgeleitet.
Dann werden an der Stelle [mm]\left(\pi, \bruch{\pi}{2}\right)[/mm] die Werte der entsprechenden partiellen Ableitungen ermittelt.
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> Ist der Ansatz für die Entwicklung ansonsten richtig oder
> bin ich schon irgendwo auf dem Holzweg?
>
> weitere Fragen könnten dann folgen :)
>
> Danke!
Gruß
MathePower
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