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| Aufgabe | Sei [mm] u\in L^{1}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{C}). [/mm] Betrachte die punktweise definierte Fouriertransformierte [mm] \hat{u}(y)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}e^{-iy^{T}x}u(x)dx,\, y\in\mathbb{R}^{n}.
[/mm]
Berechne sie für
(i) [mm] u(x)=\begin{cases}
1, & \max_{j=1,...,n}|x_{j}|\le1\\
0 & \mbox{sonst}\end{cases}.
[/mm]
(ii) [mm] u(x)=\begin{cases}
\frac{sin(x-1)}{x-1}, & x\neq1\\
1, & x=1\end{cases}x\in\mathbb{R}^{n}. [/mm] |
Hallo,
also bei (i) macht mir das n-dimensionale zu schaffen. Eigentlich sollte doch dann gelten:
[mm] \hat{u}(y)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}e^{-iy^{T}x}u(x)dx=2\pi)^{-\frac{n}{2}}\int_{[-1,1]^{n}}e^{-iy^{T}x}dx. [/mm] So dann ist ja [mm] y^{T}x=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}. [/mm] Wenn ich das dann aber einsetze und anfange zu integrieren komme ich zu nix, weil das mit dem Integrieren nach dem ersten Schritt zu unübersichtlich wird.
Da sehe bei mir dann das ganze so aus [mm] \int_{[-1,1]^{n-1}}\frac{i}{\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i}+y_{n}}(e^{-i(\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i}+y_{n})}-e^{i(\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i}+y_{n})})dz [/mm] mit [mm] z=(x_{1},...,x_{n-1}). [/mm] Damit kommt man dann glaube ich nicht wirklich weiter. Aber wie dann?
Bei (ii) macht mir die Singularität zu schaffen. Wie baue ich die in das Integral ein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Mo 10.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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